Matematyka.pl

Cześć,
Mam zadanie:
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{2\pi}{5} \right)}\)

Narysuj sobie trójkąt o kątach \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5},\frac{2\pi}{5},\frac{2\pi}{5}}\), poprowadź dwusieczną przy jednym z większych kątów, a następnie za pomocą tw. o dwusiecznej, tw. sinusów i prostych przekształceń trygonometrycznych wyliczysz sinus(cosinus, obojętnie) dla argumentu \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}}\), co już nas urządza.

Spróbuj sam, w razie problemów pomogę.

\(\displaystyle{ \pi - \frac{2}{5} \pi = \frac{3}{5} \pi}\)

czyli na przykład korzystając z sinusa

\(\displaystyle{ \sin \frac{2}{5} \pi=\sin \frac{3}{5} \pi}\)

Należy wykorzystać wzory na \(\displaystyle{ \sin 2x, \sin 3x}\)

\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} =3 \sin \frac{\pi}{5} - 4\sin^3 \frac{\pi}{5}}\)

co jak podzielimy przez \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{5}}\):


\(\displaystyle{ 2 \cos \frac{\pi}{5} =3 - 4\left( 1- \cos^2 \frac{\pi}{5}\right)}\)


\(\displaystyle{ 4 \cos^2 \frac{\pi}{5}-2 \cos \frac{\pi}{5}-1=0}\)

Równanie kwadratowe, gdzie dodatnim rozwiązaniem (pierwsza ćwiartka) jest \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{5}= \frac{1+ \sqrt{5} }{4}}\)

Teraz pozostaje wzór na \(\displaystyle{ \cos 2x=2 \cos^2x-1}\)


Mamy:

\(\displaystyle{ \cos \frac{2}{5}\pi= \frac{ \sqrt{5}-1 }{4}}\)