Matematyka.pl

Wyznaczyć \(\displaystyle{ | \sin^2(\alpha+\beta) -3\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta) -3\cos^2(\alpha+\beta)| }\) ,jeśli \(\displaystyle{ \tg(\alpha)}\) i \(\displaystyle{ \tg(\beta)}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^2-3x-3=0. }\)

Oznaczmy szukaną wartość przez \(A\). Ponadto, niech \(\alpha =t,\ \beta =u\). Mamy \(\tan t+\tan u=3,\ \tan t\tan u=-3\), więc \(\tan (t+u)=\frac{3}{1-(-3)}=\frac{3}{4}\), a zatem \[A=\cos ^2 (t+u)\cdot\left|\tan ^2(t+u)-3\tan (t+u)-3\right|=\cos ^2(t+u)\cdot\left|-\frac{75}{16}\right|,\] skąd \[\frac{16}{75}A=\cos ^2(t+u)=1-\sin ^2(t+u)=1-\tan ^2(t+u)\cos ^2(t+u)=1-\frac{9}{16}\cdot\frac{16}{75}A,\] czyli \(A=3\).