Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \cos^4 \frac{k \pi}{2n+1} = \frac{6n-5}{16} }\)

Ze znanego wzoru \(\displaystyle{ \cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\cos^4\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)\\=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1+\cos\frac{2k\pi}{2n+1}}{2}\right)^2\\=\frac n 4+\frac 1 2\sum_{k=1}^n\cos\left(\frac{2k\pi}{2n+1}\right)+\frac 1 4\sum_{k=1}^n\cos^2\left(\frac{2k\pi}{2n+1}\right)\\=\frac n 4+\frac 1 2\sum_{k=1}^n\cos\left(\frac{2k\pi}{2n+1}\right)+\frac{1}{4}\sum_{k=1}^n\frac{1+\cos\frac{4k\pi}{2n+1}}{2}\\=\frac 3 8 n+\frac 1 2\sum_{k=1}^n\cos\left(\frac{2k\pi}{2n+1}\right)+\frac 1 8\sum_{k=1}^n\cos\left(\frac{4k\pi}{2n+1}\right).}\)

Teraz taka sztuczka:
o ile \(\displaystyle{ \sin \frac x 2\neq 0}\), mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^m \cos kx\\=\frac{1}{2\sin\left(\frac x 2\right)}\sum_{k=1}^m2\sin\left(\frac x 2\right)\cos kx\\=\frac{1}{2\sin\left(\frac x 2\right)}\sum_{k=1}^m\left(\sin\left(kx+\frac x 2\right)-\sin\left(kx-\frac x 2\right)\right)\\=\frac{\sin\left(\frac{2m+1}{2}x\right)}{2\sin \left(\frac x 2\right)}-\frac 1 2.}\)
Oczywiście zarówno dla \(\displaystyle{ m=n, \ x=\frac{2\pi}{2n+1}}\), jak i dla \(\displaystyle{ m=n, \ x=\frac{4\pi}{2n+1}}\) te pierwsze człony się zerują i zostaje
\(\displaystyle{ \frac 3 8 n-\frac 1 4-\frac 1{16}=\frac{6n-5}{16}.}\)

A co będzie, gdy istnieje taka liczba całkowita \(\displaystyle{ l}\), że \(\displaystyle{ \frac{x}{2n+1}=l}\) To już się da na palcach policzyć.