Z dwójką i trójka

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Z dwójką i trójka

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) z równania \(\displaystyle{ 2^x = 3^{ \frac{x}{2} } + 1.}\)
Ostatnio zmieniony 31 maja 2023, o 13:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Z dwójką i trójka

Post autor: a4karo »

Dla `x\le 0` rozwiązań nie ma, bo lewa stroona jest mniejsza od `1`. Dla `x>0` funkcja `2^x-3^{x/2}` jest ściśle rosnąca, więc jedynym rozwiązaniem jest `x=2`
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: Z dwójką i trójka

Post autor: mol_ksiazkowy »

A elementarniej ? :?:
Dynia5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Z dwójką i trójka

Post autor: Dynia5 »

\(\displaystyle{ x= \frac{\log( \sqrt{3^x}+1) }{\log(2)} }\)
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: Z dwójką i trójka

Post autor: mol_ksiazkowy »

Ale to tylko przekształcenie równania....
Dynia5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Z dwójką i trójka

Post autor: Dynia5 »

pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ 3^ \frac{x}{2} -2x+1}\) to szukany \(\displaystyle{ x}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Z dwójką i trójka

Post autor: Janusz Tracz »

  • \(\displaystyle{ \Big( \frac{ \sqrt{3} }{2} \Big)^x+\Big( \frac{1}{2} \Big)^x=1}\)
  • \(\displaystyle{ \sin^x \frac{\pi}{3}+ \cos^x \frac{\pi}{3} =1 }\)
  • lewa strona maleje
  • \(\displaystyle{ x=2}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Z dwójką i trójka

Post autor: Jan Kraszewski »

Dynia5 pisze: 4 cze 2023, o 14:11 pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ 3^ \frac{x}{2} -2x+1}\) to szukany \(\displaystyle{ x}\)
Po pierwsze źle przepisałeś przykład.
Po drugie to nie jest wielomian.
Po trzecie nie ma to żadnego związku z Twoim poprzednim postem, w którym tylko przekształciłeś równanie do zdecydowanie mniej przyjaznej formy, a nie - wbrew temu, co Ci się wydaje - wyznaczyłeś \(\displaystyle{ x}\).

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Z dwójką i trójka

Post autor: Janusz Tracz »

Jan Kraszewski pisze: 4 cze 2023, o 14:52 tylko przekształciłeś równanie do zdecydowanie mniej przyjaznej formy
Ale można wtedy ładny wykres Cobweba zrobić:
Ukryta treść:    
PS Można też na to równanie równoważnie patrzeć jak na równanie \(\displaystyle{ 1^t+3^t=4^t}\) i skorzystać z ogólnej teorii

Kod: Zaznacz cały

https://sites.williams.edu/Morgan/files/2016/04/fermat-irrational-exponents.pdf
Irrational Exponents in Fermat’s Last Theorem. The n > 2 case; Nicola Marino

Lemat 1 na stronie 4 daje ogólne rozwiązanie równania \(\displaystyle{ a^x+b^x=c^x}\).
Ostatnio zmieniony 4 cze 2023, o 15:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
ODPOWIEDZ