Matematyka.pl

Prosze o pomoc w rozwiązaniu zadania:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1-log5 \ (x)}{1+log x\ (0,2)}}\)

Zauważ, że
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1-\log_5 x}{1+\log_x 0,2}=\frac{1-\log_5 x}{1-\log_x 5}=\frac{1-\log_5 x}{1-{1\over \log_5 x}}=\frac{\log_5x-\log_5^2x}{\log_5x-1}=-\log_5x}\)
zatem zbiór wartości byłby \(\displaystyle{ \mathbb R}\) , gdyby nie dziedzina. Ale to pozostawię Tobie
Pozdrawiam

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1- \log_{5}x}{1+\log_{x} \frac{1}{5}}=- \log_{5}x}\) -zgodnie z przekształceniami napisanymi przez przedmówcę

\(\displaystyle{ D_{f}=(0;1) \cup (1;5) \cup (5;+\infty)}\)

Gdybyśmy mieli funkcję \(\displaystyle{ g(x)=- \log_{5} x}\), to wtedy \(\displaystyle{ D_{g}=(0;+\infty)}\), zaś \(\displaystyle{ ZW_{g}=\mathbb R}\). Natomiast w naszym przypadku musimy uwzględnić dziedzinę: \(\displaystyle{ D_{f}=(0;1) \cup (1;5) \cup (5;+\infty)}\). Innymi słowy w naszym przypadku \(\displaystyle{ x\in \mathbb R_{+} \backslash \{1,5\}}\). Wykluczamy te wartości, jakie funkcja \(\displaystyle{ f(x)=-\log_{5}x}\) przyjmuje dla \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=5}\).

\(\displaystyle{ f(1)=- \log_{5}1=0}\)
\(\displaystyle{ f(5)=-\log_{5}5=-1}\)

Stąd zbiorem wartości danej funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest:
\(\displaystyle{ ZW_{f}=\mathbb R\backslash \{-1,0\}}\)