Matematyka.pl

Witam spowrotem!

Dla własnej satysfakcji postanowiłem sobie powyprowadzać najpopularniejsze wzory z wykorzystaniem logarytmów i utknąłem na wzorze na zamianę podstaw logarytmu.
I proszę was o jakąś sugestię


A tak przy okazji: próbowałem jeszcze wyprowadzić sobie takowy wzór:
\(\displaystyle{ \log _{a ^{k}}b= \frac{1}{k}\log _{a}b}\)


I spróbowałem zrobić to od końca:
najpierw definicja:
\(\displaystyle{ \log _{a}b=c \Leftrightarrow a ^{c} =b}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{k}\log _{a}b=\log _{a} \left(b ^{ \frac{1}{k} \right) }=\log _{a}a ^{ \frac{c}{k} }=\log _{a ^{k}} \left( a ^{c} \right)= \log _{a ^{k}}b}\)

Co o tym myślicie? wydaje mi się nawet, że nie ma sensu odwracać kolejności argumentacji, bo wzory na logarytmy działają w dwie strony.

Najłatwiej skorzystać chyba z zależności: \(\displaystyle{ c^{\log _cb}=b}\) i \(\displaystyle{ \log _ac=\frac{1}{\log _ca}}\)

\(\displaystyle{ \log _cb=a\ \Leftrightarrow b=c^a\\c^{\log _cb}=c^a=b}\)

\(\displaystyle{ \log _ca=k\ \Leftrightarrow c^k=a\\
\log _ac^k=k\cdot\ \log _ac=\log _aa=1\\
\log _ac=\frac{1}{k}=\frac{1}{\log _ca}}\)

\(\displaystyle{ \log _ab=\log _ac^{\log _cb}=\log _cb\cdot\ \log _ac=\frac{\log _cb}{\log _ca}}\)

faktycznie, wszystko gra. dzięki bardzo

Ja wyprowadzam ten wzór następująco:

etap I
\(\displaystyle{ \log_x⁡y=\log_a⁡b}\) (równanie 1)
Nie interesuje nas \(\displaystyle{ y}\), chcemy po prostu mieć wzór, w którym będzie się pojawiało \(\displaystyle{ \log_x}\), więc musimy uzależnić \(\displaystyle{ y}\) od pozostałych symboli.

etap II
Z równania 1 mamy \(\displaystyle{ x^{\log_a⁡b} =y}\) oraz \(\displaystyle{ a^{\log_a⁡b} =b}\). Możemy podzielić stronami:

\(\displaystyle{ {\frac{x^\log_a⁡b}{a^\log_a⁡b}} = \frac{y}{b}}\) skąd \(\displaystyle{ y=b \cdot \frac{x^\log_a⁡b}{a^\log_a⁡b}}\)

etap III
Teraz wstawiamy \(\displaystyle{ y}\) do równania 1:
\(\displaystyle{ {\log_ab}=\log_x{\left( b \cdot \frac{x^{\log_a⁡b} }{a^{\log_a⁡b} } \right) } =
{\log_x⁡b}+{\log_x⁡{x^{\log_a⁡b}-\log_x{a^{log_a⁡b}} =
{\log_x⁡b}+{\log_a{b-{\log_a⁡b} \cdot {\log_x⁡a}}}\)

Następnie \(\displaystyle{ {\log_a⁡b} \cdot {\log_x⁡a}={\log_x⁡b}}\) i w efekcie \(\displaystyle{ {\log_ab}= \frac{\log_x⁡b}{\log_xa}}\)

Może nie jest to tak elegancka metoda jak ta uż. irena_1, ale jest prosta w zapamiętaniu.