Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a, b\in\left(0,1\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \ln\frac{1}{a}\ln\frac{1}{b}=9}\), to \(\displaystyle{ a\cdot b\leq\frac{1}{e^6}}\).
Jakieś pomysły?
Wykazać nierówność
-
wojciechfil20
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10232
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Wykazać nierówność
Z nierówności AM-GM
\(\displaystyle{ -\frac{\ln(ab)}{2} = \frac{\ln \frac{1}{a} + \ln \frac{1}{b}}{2} \ge \sqrt{ \ln \frac{1}{a} \cdot \ln \frac{1}{b} } = \sqrt{9} = 3}\),
zatem \(\displaystyle{ \ln(ab) \le -6}\) i stąd \(\displaystyle{ ab \le e^{-6}}\).
\(\displaystyle{ -\frac{\ln(ab)}{2} = \frac{\ln \frac{1}{a} + \ln \frac{1}{b}}{2} \ge \sqrt{ \ln \frac{1}{a} \cdot \ln \frac{1}{b} } = \sqrt{9} = 3}\),
zatem \(\displaystyle{ \ln(ab) \le -6}\) i stąd \(\displaystyle{ ab \le e^{-6}}\).