Matematyka.pl

Wykazać, że:
\(\displaystyle{ e^{n}> \sqrt{2ne}, n \in N}\)

Bardzo proszę o pomoc, próbowałam indukcyjnie ale coś mi nie wychodzi.

\(\displaystyle{ \ e^{n}> \sqrt{2ne}, n \in N}\)

\(\displaystyle{ 1)}\) Dla n = 0
\(\displaystyle{ e^0=1 > 0= \sqrt{2 \cdot 0 \cdot e}}\) .
Dla \(\displaystyle{ \ n=1}\)
\(\displaystyle{ \quad e > \sqrt{2 \cdot e} .}\)
Wynika to stąd, że lewa i prawa strona jest dodatnia oraz kwadrat lewej jest większy od kwadratu prawej.

\(\displaystyle{ 2)}\) Chcę pokazać, że z \(\displaystyle{ \ e^{n}> \sqrt{2ne}, n \ge 1}\) wynika \(\displaystyle{ e^{n+1}> \sqrt{2(n+1)e}, \ n \ge 1}\).
\(\displaystyle{ e^{n+1}=e \cdot e^n>e \sqrt{2ne}.}\) Zachodzi to z założenia indukcyjnego.
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
\(\displaystyle{ e^2>1+ \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n} \Leftrightarrow e^2n>n+1 \Leftrightarrow e^22ne>2(n+1)e \Leftrightarrow e \sqrt{2ne}> \sqrt{2(n+1)e} .}\)
Czyli \(\displaystyle{ e \sqrt{2ne}> \sqrt{2(n+1)e} .}\)
\(\displaystyle{ 3)}\) Z\(\displaystyle{ 1), \ 2)}\) i zasady indukcji matematycznej...