Matematyka.pl

Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{\left( 0,25\right)^{5- \frac{x}{4} } }=2^{ \sqrt{x+1}-4 } }\).
Zrobiłam w ten sposób:
\(\displaystyle{ x \ge -1.}\)
Po przekształceniach mam
\(\displaystyle{ 2^{-5+ \frac{x}{4} }=2^{ \sqrt{x+1}-4 }}\),
Porównuje teraz wykładniki:
\(\displaystyle{ -5+ \frac{x}{4}=\sqrt{x+1}-4,\\
-4+x=4 \sqrt{x+1} /\left( \right)^{2} ,\\
x^{2}-8x+16=16(x+1),\\
x^{2}-24x=0,\\
x=0 \vee x=24.
}\)
Dlaczego \(\displaystyle{ 0}\) nie spełnia równania?
Czy coś źle liczę?

Podnoszenie do kwadratu stronami nie zawsze jest przekształceniem równoważnym , wprowadziłaś obcy pierwiastek.

To jak sobie poradzić z tym inaczej?

Możesz przekształcać metodą równań równoważnych , ale ja tam lubię metodę której użyłaś , tylko zawsze sprawdzaj na końcu wszystkich kandydatów czy naprawdę są rozwiązaniami . Pod linkiem możesz poczytać o tym więcej:

vip123 pisze: ↑18 lis 2023, o 16:23 To jak sobie poradzić z tym inaczej?

Można tak samo, ale trzeba zrobić założenie, dla którego obustronne podnoszenie do kwadratu daje równanie równoważne.
Nota bene, niespełnienie tego warunku w ogóle czyni równość bezsensowną. Czy pierwiastek kwadratowy (wg tradycyjnej, rzeczywistoliczbowej definicji) może być liczbą ujemną?

Ja chyba czegoś nie rozumiem. Nie robię założeń, bo obie strony są dodatnie, bo mamy dwie funkcje wykładnicze o podstawach dodatnich. Zero nie będzie pasować. Jak się podstawi do oryginalnego równania to nie wychodzi.
Robię te same przekształcenia i wychodzi mi tak samo drugie równanie.
Aaa dobra, bo skoro mamy \(\displaystyle{ -4+x=4 \sqrt{x+1}}\) to albo obie strony są nieujemne albo obie zespolone. I dlatego \(\displaystyle{ x \ge 4}\). Ej a w ogóle dałoby się to zauważyć w początkowym równaniu?
A ciekawe czy to coś ma jakieś zespolone rozwiązania...

Niepokonana pisze: ↑28 sty 2024, o 20:23Ej a w ogóle dałoby się to zauważyć w początkowym równaniu?

Poniekąd by się dało - wykładnik po prawej stronie, z racji posiadania owego pierwiastka, nie może być wszak "zbyt ujemny"