Równanie wykładnicze z e

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
kuomi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 26 sie 2021, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Równanie wykładnicze z e

Post autor: kuomi »

Dzień dobry,

w toku zadania dostaję równanie postaci \(\displaystyle{ e^{2x}- x^{2}-1 =0}\) Jak je rozwiązać?

Robiłem to tak, że zamieniłem sobie \(\displaystyle{ x^{2}}\) na \(\displaystyle{ e^{\ln x^{2}}}\) czyli \(\displaystyle{ e^{2\ln x} }\), a 1 zamieniłem sobie na \(\displaystyle{ e^{0}}\). Mam więc równanie \(\displaystyle{ e^{2x}-e^{2\ln x}=e^{0}}\). Podstawy potęg mam takie same, więc biorę \(\displaystyle{ 2x-2\ln x=0}\) i dalej \(\displaystyle{ x=\ln x}\). A to jest już jakieś nierozwiązywalne. Co robię źle? Jak zabrać się za to równanie? Odpowiedź ma wyjść na pewno 0 (sprawdzałem i w odpowiedziach i na wolframie).

Z góry dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 1 lis 2021, o 15:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie wykładnicze z e

Post autor: janusz47 »

Metoda graficzna - na jednym rysunku wykresy funkcji: \(\displaystyle{ y = e^{2x}, \\ y = x^2 +1.}\)

Ich wspólny punkt ma współrzędne...
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie wykładnicze z e

Post autor: Jan Kraszewski »

kuomi pisze: 1 lis 2021, o 14:59Mam więc równanie \(\displaystyle{ e^{2x}-e^{2\ln x}=e^{0}}\). Podstawy potęg mam takie same, więc biorę \(\displaystyle{ 2x-2\ln x=0}\).
To jest niedobrze - co z tego, że podstawy są takie same?

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie wykładnicze z e

Post autor: a4karo »

Żeby było jasne:
z `e^a=e^b` wynika, że `a=b`, ale z `e^a+e^b=e^c` nie wynika, że `a+b=c`. Tak samo jak z `e^a=-e^b` nie wynika, że `a=-b`
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Równanie wykładnicze z e

Post autor: Dasio11 »

a4karo pisze: 1 lis 2021, o 16:38Tak samo jak z `e^a=-e^b` nie wynika, że `a=-b`
W liczbach rzeczywistych - wynika. ;P
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie wykładnicze z e

Post autor: a4karo »

Dasio11 pisze: 1 lis 2021, o 18:29
a4karo pisze: 1 lis 2021, o 16:38Tak samo jak z `e^a=-e^b` nie wynika, że `a=-b`
W liczbach rzeczywistych - wynika. ;P
Fakt :evil:
ODPOWIEDZ