Witam,
Mam problem z dwoma podobnymi równaniami.
Problem polega na tym, że jak zwykle nie wiem gdzie mam błąd w swoim myśleniu.
1) Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie ma tylko jedno rozwiązanie dodatnie:
\(\displaystyle{ 2\log_2 (x+1)=\log_2 [(m-1)x]}\)
Mój tok myślenia:
- założenia na logarytm: \(\displaystyle{ x+1>3 \wedge (m-1)x>0}\)
- opuszczam logarytm i otrzymuje funkcje kwadratową: \(\displaystyle{ x^{2}+(3-m)x+1=0}\)
- Zbieram wszystkie założenia razem z funkcją:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+1>0\\m-1>0\\x>0\\x^{2}+(3-m)x+1=0\end{cases}\ \ \vee \ \ \begin{cases} x+1>0\\m-1<0\\x<0\\x^{2}+(3-m)x+1=0\end{cases}}\)
Teraz tu gdzieś muszę robić błąd. Aby było jedno rozwiązanie dodatnie, to wg. mnie:
1)\(\displaystyle{ \Delta=0 \wedge \\frac{-b}{2a}>0}\) lub
2) \(\displaystyle{ \Delta>0 \wedge \\ \frac{c}{a}<0}\)
Drugi przypadek się później wyklucza, bo dochodzi się do momentu w którym 1<0,
natomiast pozostałe dwa przypadki to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m>3\\m\in\lbrace1,5\rbrace\end{cases} \vee m\in\phi}\)
Co robię źle, że mam takie wyniki? Coś tu z tą trójką nie gra, bo wynik jest \(\displaystyle{ \m\in\lbrace1,5\rbrace}\)
Zadanie drugie jest podobne, mam nadzieję, że jak wyjaśni mi się to pierwsze to to pójdzie gładko:
2) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma tylko jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 2\log(x+3)=\log(mx)}\)
Równanie logarytmiczne z parametrem
Równanie logarytmiczne z parametrem
Rozwiązanie zadania 2 znajdziesz tutaj: https://www.matematyka.pl/103150.htm
Co do zadania 1:
Wynik to \(\displaystyle{ m=5}\).
Napisałeś, że \(\displaystyle{ \Delta=0}\). Oznacza to, że istnieje jeden podwójny pierwiastek, zatem niezależnie od jego znaku \(\displaystyle{ x_{0}^{2}}\) będzie zawsze dodatnie.
\(\displaystyle{ \Delta=0
m^{2}-6m+5=0}\)
\(\displaystyle{ m=1}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ m=5}\)
Z założenia \(\displaystyle{ m\neq1}\), zatem jedynym możliwym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ m=5}\) (wtedy \(\displaystyle{ x=1}\)).
Co do zadania 1:
Wynik to \(\displaystyle{ m=5}\).
Napisałeś, że \(\displaystyle{ \Delta=0}\). Oznacza to, że istnieje jeden podwójny pierwiastek, zatem niezależnie od jego znaku \(\displaystyle{ x_{0}^{2}}\) będzie zawsze dodatnie.
\(\displaystyle{ \Delta=0
m^{2}-6m+5=0}\)
\(\displaystyle{ m=1}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ m=5}\)
Z założenia \(\displaystyle{ m\neq1}\), zatem jedynym możliwym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ m=5}\) (wtedy \(\displaystyle{ x=1}\)).