Matematyka.pl

Ktoś podsunął mi pod nos niniejsze równanie... i od tego czasu lekko mnie trapi.
Znalazłam metodą trafnych strzałów aż 2 rozwiązania - zresztą to na tyle ładne liczby wymierne, że trafić jest nieciężko. Przekornie ich nie podam, bo nie w tym rzecz przecież... jak się zabrać za takie równanko?
Rozwiązań, zdaje się, powinno być 3, tylko jak to trzecie znaleźć i ogólnie jak wyznaczyć nawet te ładne - na to pomysłu nie mam.
Pomożecie?

\(\displaystyle{ \log_{a}x=a^{x},\; gdzie\; a={1\over 16}}\)

Zainteresowałaś mnie, ale niestety nie mam pomysłu (może to być kwestia poważnego niedoboru snu ) jedyne co dałem radę osiągnąć to znalazłem trzecie rozwiązanie \(\displaystyle{ x \approx 0,3642498897...}\), ale numerycznie, więc się nie liczy.

Niedobór snu... aj, rozumiem w pełni

Numerycznie to też jakaś metoda. W każdym bądź razie wychodzi dokładniej niż u mnie.
Gdyby Ci się trafiło wyspać i rozgryzłbyś to równanie, to daj znać. Problem nadal aktualny.

11 lat później a zagwozdka ciągle czasem do mnie wraca Dziś mamy AI. I co? I chatGPT też nie ma do powiedzenia nic lepszego niż metody numeryczne

Skoro tak bardzo cię to interesuje, mam książkę Roberta Hajłasza "Metodyka nauczania matematyki" ,w niej na stronie 135 jest treść tego zadania z adnotacją że w czasopiśmie Matematyka 4/1991 udowodniono że to równanie ma dokładnie 3 rozwiązania - dostępu do czasopisma niestety nie mam .

\(\displaystyle{ \lg_{ \frac{1}{16} }x= \frac{\ln x}{ln_{ \frac{1}{16} }} = \frac{1}{2^{4x}} }\)

otrzymasz po przekształceniach:

\(\displaystyle{ 2^{4x}\ln x=-4\ln 2}\)

Od razu widać, że dwa rozwiązania to:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} , \frac{1}{2} }\)

trzecie to pomiędzy nimi \(\displaystyle{ \approx 0,36}\) wynika to ze specyficznego wyglądu funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)= 2^{4x}\ln x}\)

Minima i maxima dla: \(\displaystyle{ x>0}\)