Ktoś podsunął mi pod nos niniejsze równanie... i od tego czasu lekko mnie trapi.
Znalazłam metodą trafnych strzałów aż 2 rozwiązania - zresztą to na tyle ładne liczby wymierne, że trafić jest nieciężko. Przekornie ich nie podam, bo nie w tym rzecz przecież... jak się zabrać za takie równanko?
Rozwiązań, zdaje się, powinno być 3, tylko jak to trzecie znaleźć i ogólnie jak wyznaczyć nawet te ładne - na to pomysłu nie mam.
Pomożecie?
\(\displaystyle{ \log_{a}x=a^{x},\; gdzie\; a={1\over 16}}\)
Równanie logarytmiczne... rozwiążesz?
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 12 kwie 2012, o 18:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków/Wilno
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 18 paź 2011, o 12:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 5 razy
Równanie logarytmiczne... rozwiążesz?
Zainteresowałaś mnie, ale niestety nie mam pomysłu (może to być kwestia poważnego niedoboru snu ) jedyne co dałem radę osiągnąć to znalazłem trzecie rozwiązanie \(\displaystyle{ x \approx 0,3642498897...}\), ale numerycznie, więc się nie liczy.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 12 kwie 2012, o 18:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków/Wilno
Równanie logarytmiczne... rozwiążesz?
Niedobór snu... aj, rozumiem w pełni
Numerycznie to też jakaś metoda. W każdym bądź razie wychodzi dokładniej niż u mnie.
Gdyby Ci się trafiło wyspać i rozgryzłbyś to równanie, to daj znać. Problem nadal aktualny.
Numerycznie to też jakaś metoda. W każdym bądź razie wychodzi dokładniej niż u mnie.
Gdyby Ci się trafiło wyspać i rozgryzłbyś to równanie, to daj znać. Problem nadal aktualny.
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 18 paź 2011, o 12:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 5 razy
Re: Równanie logarytmiczne... rozwiążesz?
11 lat później a zagwozdka ciągle czasem do mnie wraca Dziś mamy AI. I co? I chatGPT też nie ma do powiedzenia nic lepszego niż metody numeryczne
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Re: Równanie logarytmiczne... rozwiążesz?
Skoro tak bardzo cię to interesuje, mam książkę Roberta Hajłasza "Metodyka nauczania matematyki" ,w niej na stronie 135 jest treść tego zadania z adnotacją że w czasopiśmie Matematyka 4/1991 udowodniono że to równanie ma dokładnie 3 rozwiązania - dostępu do czasopisma niestety nie mam .
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Równanie logarytmiczne... rozwiążesz?
\(\displaystyle{ \lg_{ \frac{1}{16} }x= \frac{\ln x}{ln_{ \frac{1}{16} }} = \frac{1}{2^{4x}} }\)
otrzymasz po przekształceniach:
\(\displaystyle{ 2^{4x}\ln x=-4\ln 2}\)
Od razu widać, że dwa rozwiązania to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} , \frac{1}{2} }\)
trzecie to pomiędzy nimi \(\displaystyle{ \approx 0,36}\) wynika to ze specyficznego wyglądu funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)= 2^{4x}\ln x}\)
Minima i maxima dla: \(\displaystyle{ x>0}\)
otrzymasz po przekształceniach:
\(\displaystyle{ 2^{4x}\ln x=-4\ln 2}\)
Od razu widać, że dwa rozwiązania to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} , \frac{1}{2} }\)
trzecie to pomiędzy nimi \(\displaystyle{ \approx 0,36}\) wynika to ze specyficznego wyglądu funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)= 2^{4x}\ln x}\)
Minima i maxima dla: \(\displaystyle{ x>0}\)