Matematyka.pl

i juz ostatnie rownanie:
\(\displaystyle{ log_{5}^{3}x+2log_{5}^{2}x-log_{5}x-2=0}\)
i co z tym zrobic? Prosze, pomozcie!

Tu również z podstawienia: niech log5x=t
czyli:
t3+2t2-t-2=0
t2(t+2)-(t+2)=0
(t2-1)(t+2)=0
liczysz miejsca zerowe i przyrównujesz do log5x

a jeszcze mam pytanie: czemu tu nie robimy zastrzezenia, ze t>0? bo w niektorych przykladach zastrzegamy, ze t musi byc wieksze od zera...

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ \log_{5}x}\) przebiega cały zbiór liczb rzeczywistych. Pewnie chodzi o podstawienie typy \(\displaystyle{ x^2=t}\) lub \(\displaystyle{ 2^{x}=t}\), zastanów się jakie przyjmują wartości funkcje po lewej stronie.

\(\displaystyle{ log_{5}^{3}x+2log_{5}^{2}x-log_{5}x-2=0}\)
niech \(\displaystyle{ log_{5}x=t}\)
\(\displaystyle{ t^3+2t^2-t-2=0\\W(t)=t^3+2t^2-t-2}\)
dzielimy wielomian W(t) przez dwumian (t-1) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ W(t)=(t^2+3t+2)(t-1)}\)
teraz rozwiązujemy równanie kwadratowe i otrzymujemy pierwiastki:
\(\displaystyle{ t_{1}=-2\\t_{2}=-1}\)
teraz nasz wielomian możemy zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ W(t)=(t+2)(t+1)(t-1)}\)
t=-2 lub t=-1 lub t=1
wracamy do podstawiania:
\(\displaystyle{ log_{5}x=t}\)
\(\displaystyle{ log_{5}x=-2}\) lub \(\displaystyle{ log_{5}x=-1}\) lub \(\displaystyle{ log_{5}x=1}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{25}}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{1}{5}}\) lub \(\displaystyle{ x=5}\)
Koniec