Matematyka.pl

Dzień dobry,
przychodzę z takim zadaniem

\(\displaystyle{ \log_{\sin(x)} \cos (x) + \log_{\cos(x)} \sin(x) = 2}\)

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać, zamiana podstaw to syzyfowa praca. Czy ktoś mądry ma pomysł jak chociaż rozpocząć to zadanko? Nie muszę mieć od razu rozwiązania na tacy, proszę tylko o jakąś wskazówkę. Z góry dzięki

Dziedzina, zamień podstawę drugiego na taką jak ma pierwszy, podstaw coś zamiast logarytmu.

Rozpocznij od założeń dla logarytmów.

Zastosuj wzór na zamianę podstawy logarytmu np. \(\displaystyle{ \cos(x) }\) na \(\displaystyle{ \sin(x).}\)

Potem wykonaj podstawienie \(\displaystyle{ t = \log_{\sin(x)}(\cos(x)),}\) sprowadzając równanie logarytmiczno-trygonometryczne do równania kwadratowego.

Bardzo dziękuję, to jednak nie było takie straszne po prostu nie zauważyłem, że tak należy to zrobić

W sumie można to bez liczenia zrobić. Z \(\displaystyle{ \text{AM-GM}}\) wiemy, że zwykle \(\displaystyle{ \log_{\sin(x)} \cos (x) + \log_{\cos(x)} \sin(x) >2}\) i jedynie, gdy \(\displaystyle{ \log_{\sin(x)} \cos (x) = \log_{\cos(x)} \sin(x) }\) zachodzi równość z zadania. Ten równoważny warunek jednak sprowadza się do warunku \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\) lub \(\displaystyle{ \sin x \cos x=1}\) (przy czym ten drugi natychmiast odpada choćby ze wzglądu na to, że \(\displaystyle{ \sin x}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x}\) będą tu \(\displaystyle{ <1}\) ze względu na dziedzinę). Zostaje więc warunek \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\). I to z wykresu można odczytać patrząc kiedy dodatnie (bo dziedzina) górki się przecinają tj.: \(\displaystyle{ \pi/4+2k\pi}\).