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Mając dane \(\displaystyle{ \log_{x} y + \log_{y} x = 11 }\), wyznaczyć \(\displaystyle{ \log_{x}^5 y + \log_{y}^5 x }\).

Ponieważ, dla dobrze określonych \(x,\ y\), mamy \(\log_{x} y \cdot \log_{y} x=1\), to

1. \(\log_{x}^2 y + \log_{y}^2 x=11^2-2\cdot1=119\)
2. \(\log_{x}^3 y + \log_{y}^3 x=11^3-3\cdot1\cdot11=1298\)

czyli
\[(\log_{x}^2 y + \log_{y}^2 x)\cdot(\log_{x}^3 y + \log_{y}^3 x)=119\cdot1298\\
\log_{x}^5 y +1^2\cdot\log_{x} y + 1^2\cdot\log_{y} x+ \log_{y}^5 x=154462\\
\log_{x}^5 y +\log_{y}^5 x=154462-11=154451\]
Pozdrawiam