Matematyka.pl

Udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ a, b}\) są dodatnie i różne, to \(\displaystyle{ \frac{a-b}{\ln(a)- \ln(b)} < \frac{1}{3} ( 2 \sqrt{ab} + \frac{a+b}{2} )}\)

Można założyć, że\(\displaystyle{ a>b}\)

Jest to klasyczna średnia logarytmiczna:

najpierw udowodnimy, że:

\(\displaystyle{ \frac{a-b}{\ln(a)-ln(b)} \le \frac{ \left( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^3 }{8} }\)

Jest to nierówność jednorodna, podstawmy:

\(\displaystyle{ a:=a^{3} , b:=b^3}\)

wystarczy teraz udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \frac{a^3-b^3}{\ln(a)-\ln(b)} \le \frac{3}{8} \cdot \left( a+b\right)^3 }\)

lub inaczej, że:

\(\displaystyle{ \ln \frac{a}{b} \ge \frac{8}{3} \cdot \frac{a^3-b^3}{(a+b)^3} }\)

Pamiętając, że:

\(\displaystyle{ a>b}\)

niech: \(\displaystyle{ x= \frac{a}{b}>1 }\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ \ln x \ge \frac{8}{3} \frac{x^3-1}{(x+1)^3} }\)

To już nietrudno udowodnić choćby z pochodnej...

czyli zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac{a-b}{\ln(a)-ln(b)} \le \frac{ \left( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^3 }{8} }\)

teraz udowodnimy, że:

\(\displaystyle{ \frac{ \left( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^3 }{8} \le \frac{2}{3} \sqrt{ab} + \frac{1}{6} \left( a+b\right) }\)

teraz robimy podstawienie:

\(\displaystyle{ a:=a^6 , b:=b^6}\) i otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{\left( a^2+b^2\right)^3 }{8} \le \frac{2}{3} a^3b^3+ \frac{1}{6}\left( a^6+b^6\right) }\)

po uproszczeniu i podstawieniu:

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} =x>1}\)

otrzymamy klasyczny wielomian:

\(\displaystyle{ x^6-9x^4+16x^3-9x^2+1 \ge 0 , x>1}\)

lub:

\(\displaystyle{ \left( x-1\right)^4\left( x^2+4x+1\right) \ge 0 }\)

A co jest prawdą więc:

cnd...


Można i z tego:

\(\displaystyle{ \ln x > \frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}, x>1 }\)

\(\displaystyle{ a \neq b }\) oraz \(\displaystyle{ a,b>0 }\)

Rozważmy \(\displaystyle{ a>b }\), wtedy

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} (2 \sqrt{bb} + \frac{b+b}{2}) < \frac{1}{3} (2 \sqrt{ab} + \frac{a+b}{2}) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} (2b + b) < \frac{1}{3} (2 \sqrt{ab} + \frac{a+b}{2}) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ b < \frac{1}{3} (2 \sqrt{ab} + \frac{a+b}{2}) }\)

Udowodnimy, że

\(\displaystyle{ \frac{a-b}{\ln (a) - \ln (b)} < b \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \frac{a-b}{\ln ( \frac{a}{b} )} < b}\) , ponieważ \(\displaystyle{ ( \log_{a}b -\log_{a}c =\log_{a}( \frac{b}{c}) ) }\)

Ponieważ \(\displaystyle{ a>b }\) oraz \(\displaystyle{ a,b>0 }\) (czyli \(\displaystyle{ \frac{a}{b}>1 }\) ), to \(\displaystyle{ \ln ( \frac{a}{b} ) > 0 }\). Stąd mamy

\(\displaystyle{ a-b < b\ln ( \frac{a}{b} ) \Leftrightarrow a < b + b\ln ( \frac{a}{b} ) \Leftrightarrow \frac{a}{b} < 1 + \ln ( \frac{a}{b}) \Leftrightarrow \frac{a}{b} -1< \ln ( \frac{a}{b})}\)

Dalej

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} -1 < 0 }\) oraz \(\displaystyle{ 0 < \ln ( \frac{a}{b}) }\)

Co udowadnia, że

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} -1< \ln ( \frac{a}{b})}\)

Co z kolei udowadnia nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{a-b}{\ln (a) - \ln (b)} < b }\)

Co z kolei udowadnia nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{a-b}{\ln (a) - \ln (b)} < b < \frac{1}{3} (2 \sqrt{ab} + \frac{a+b}{2})}\), oczywiście dla \(\displaystyle{ a>b }\).

W przypadku, gdy \(\displaystyle{ a<b }\) przebieg (rozumowania) udowadniania nierówności jest taki sam jak w przypadku \(\displaystyle{ a>b }\).

Zatem nierówność

\(\displaystyle{ \frac{a-b}{\ln (a) - \ln (b)} < \frac{1}{3} (2 \sqrt{ab} + \frac{a+b}{2})}\)

jest prawdziwa dla każdych \(\displaystyle{ a \neq b }\) oraz \(\displaystyle{ a,b>0 }\).

John Wick pisze: ↑14 sty 2024, o 13:34 \(\displaystyle{ a \neq b }\) oraz \(\displaystyle{ a,b>0 }\)
Rozważmy \(\displaystyle{ a>b }\), wtedy
...
Co z kolei udowadnia nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a-b}{ln (a) - ln (b)} < b }\)

Raczej nie. Twierdzenie Lagrange'a (lub Cauchy'ego) podpowiada, że jest zupełnie na odwrót. Poza tym argument asymptotyczny też temu przeczy. Duże \(\displaystyle{ a}\) powoduje, że lewa strona rośnie w nieograniczony sposób przy ustalonym \(\displaystyle{ b}\).

\(\displaystyle{ a>b, a \neq b, a,b>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{a-b}{\ln(a)-\ln(b)} <b}\)

lub po przekształceniu mamy:


\(\displaystyle{ \ln \frac{a}{b} > \frac{a}{b} -1, x= \frac{a}{b} >1}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ \ln x>x-1}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\ln(x)-x+1}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{x} -1}\)

Jak widać dla \(\displaystyle{ x>0}\)

\(\displaystyle{ f(x)}\) najpierw rośnie potem maleje

dla: \(\displaystyle{ x=1}\)

Osiąga maksimum czyli zero...

Czyli nie jest dodatnia...

arek1357 pisze: ↑14 sty 2024, o 14:07 \(\displaystyle{ a>b, a \neq b, a,b>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{a-b}{\ln(a)-\ln(b)} <b}\)

lub po przekształceniu mamy:

Nie wiem co to ma być, ale taka nierówność nie zachodzi. Średnia logarytmiczna leży między `b` i `a`

No właśnie poniżej dowodziłem, że nie zachodzi...

Bo powyżej ktoś na nią się powołał...

Alf stwierdził, że nie zachodzi...

Ja wykazałem, że nie zachodzi...

Czyli reasumując skoro większość twierdzi , że nie zachodzi a mamy demokrację to znaczy, że nie zachodzi...