Twierdzenie
Prawdziwa jest równość :
\(\displaystyle{ \log_{a^{q}} \left( n^{p} \right) = \frac{p}{q}\log_{a} (n)}\)
dla \(\displaystyle{ a, n > 0, \ \ a\neq 1, \ \ p \in \RR, \ \ q \in \RR\setminus \{0\}. }\)
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ \log_{a^{q}} \left( n^{p} \right) = x }\) i \(\displaystyle{ \log_{a}(n) = y \ \ (*)}\)
Z określenia logarytmu:
\(\displaystyle{ (a^{qx} = n^{p}) }\) i \(\displaystyle{ (a^{y} = n) \rightarrow (a^{qx} = n^{p}) }\) i \(\displaystyle{ (\left(a^{y} \right)^{p}= n^{p}) \rightarrow (a^{qx}= a^{yp}) \rightarrow (qx = yp) \rightarrow \left(x = \frac{p}{q}y \right) \overset {(*)}{\rightarrow} \left(\log_{a^{q}} \left( n^{p} \right) = \frac{p}{q}\log_{a} (n) \right).}\)
\(\displaystyle{ \Box }\)
Przykład
\(\displaystyle{ \log_{2\sqrt{5}}\left(32\sqrt[5]{4}\right) =\log_{2^{\frac{3}{2}}}\left(2^{5} 4^{\frac{1}{5}}\right)=\log_{2^{\frac{3}{2}}} \left(2^{5+\frac{2}{5}}\right) = \log_{2^{\frac{3}{2}}}\left(\frac{\frac{27}{5}}{\frac{3}{2}}\right) \log_{2}(2) = \frac{54}{15}= \frac{18}{5}= 3,6.}\)
Oczywiście to zadanie można rozwiązać, nie znając tej własności logarytmów.
Z definicji logarytmu:
\(\displaystyle{ \left(\log_{2\sqrt{5}}\left(32\sqrt[5]{4}\right) = x) \rightarrow (\left(2\sqrt{5}\right)^{x} = 32\sqrt[5]{4})\right) \rightarrow \left(2^{\frac{3}{2}x} = 2^{5}\cdot 2^{\frac{2}{5}} \right) \rightarrow \left( 2^{\frac{3}{2}x} = 2^{5+\frac{2}{5}} \right) = \left(2^{\frac{3}{2}x} = 2^{\frac{27}{5}}\right) \rightarrow \left(\frac{3}{2}x = \frac{27}{5} \right)\rightarrow \left( x = \frac{54}{15} = \frac{18}{5}= 3,6\right).}\)
