Matematyka.pl

Hej, mam problem z tą nierównością.

\(\displaystyle{ \frac{\left| \log\left( x+1\right) \right| }{ x^{2}-1 } \le \log\left( x+1 \right) ^ {2} }\)
Wg mnie powinno się to zrobić tak:
Dziedzina to \(\displaystyle{ x \in \left( -1; \infty \right) / \left\{ 1\right\} }\)
Wiedząc to, wiemy, że \(\displaystyle{ x ^{2} -1}\) jest zawsze dodatnie, więc możemy pomnożyć obie strony przez \(\displaystyle{ x ^{2} -1}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ \left| \log\left( x+1\right) \right| \le 2\log\left( x+1 \right)\left( x^{2}-1\right) }\)
Rozważmy dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ x \in \left( -1;0\right) }\)
\(\displaystyle{ -\log\left( x+1\right) \le 2\log\left( x+1 \right)\left( x^{2}-1\right) }\)
W tym przedziale \(\displaystyle{ \log\left( x+1 \right)}\) jest ujemny, więc mamy:
\(\displaystyle{ -1 \ge 2x^{2}-2 \\
\left( x- \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \left( x+ \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \le 0 }\)
Więc zestawiąjąc rozwiązanie z przedziałem dla tego przypadku mamy \(\displaystyle{ x \in \left\langle- \frac{ \sqrt{2} }{2};0 \right) }\)
2) \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0; \infty \right) }\)
\(\displaystyle{ \log\left( x+1\right) \le 2\log\left( x+1 \right)\left( x^{2}-1\right) }\)
W tym przedziale \(\displaystyle{ \log\left( x+1 \right)}\) jest dodatni, więc mamy:
\(\displaystyle{ 1 \le 2x^{2}-2 \\
\left( x- \frac{ \sqrt{6} }{2} \right) \left( x+ \frac{ \sqrt{6} }{2} \right) \ge 0}\)
Więc zestawiąjąc rozwiązanie z przedziałem dla tego przypadku mamy \(\displaystyle{ x \in \left\langle \frac{ \sqrt{6} }{2}; \infty \right) }\)
Więc całościowe rozwiązanie to \(\displaystyle{ x \in \left\langle- \frac{ \sqrt{2} }{2};0 \right) \cup \left\langle \frac{ \sqrt{6} }{2}; \infty \right)}\)
W odpowiedzi za to jest podany taki przedział \(\displaystyle{ x \in \left( -1; -\frac{\sqrt{2} }{2} \right \rangle \cup \left\langle 0;1 \right) \cup \left\langle \frac{ \sqrt{6} }{2}; \infty \right) }\)

Co robię źle, no bo coś mi na pewno umyka...

A czemu `x^2-1` ma być zawsze dodatnie?

No fakt nie jest
----------------------------
Dobra mam to, faktycznie to że \(\displaystyle{ x^{2}-1 }\) nie jest zawsze dodanie, zmieniło sprawę

Gadziu pisze: ↑19 paź 2023, o 12:13Więc całościowe rozwiązanie to \(\displaystyle{ x \in \left\langle- \frac{ \sqrt{2} }{2};0 \right) \cup \left\langle \frac{ \sqrt{6} }{2}; \infty \right)}\)
W odpowiedzi za to jest podany taki przedział \(\displaystyle{ x \in \left( -1; -\frac{\sqrt{2} }{2} \right \rangle \cup \left\langle 0;1 \right) \cup \left\langle \frac{ \sqrt{6} }{2}; \infty \right) }\)

Co robię źle, no bo coś mi na pewno umyka...

Jeśli Twoje rozwiązanie nie zgadza się z odpowiedzią z książki, to jest łatwy sposób by sprawdzić, która odpowiedź jest błędna: weź jakikolwiek \(\displaystyle{ x}\), który różni podane zbiory, i podstaw do nierówności. Jeśli będzie prawdziwa, to myli się ta odpowiedź, która nie ma tego iksa w swoim zbiorze, a jeśli nie będzie, to myli się ta druga.

Co więcej, jeśli błędne okaże się Twoje rozwiązanie, to istnieje łatwy sposób na sprawdzenie, gdzie dokładnie masz błąd: weź tego iksa, co do którego myli się Twoja odpowiedź, i sprawdź dla niego wszystkie kroki rozumowania. W pewnym momencie przeskoczysz z prawdy do fałszu lub na odwrót, i to w tym miejscu jest błąd.