Matematyka.pl

Witam,

Jak przeprowadzić poprawny dowód monotoniczności funkcji logarytmicznej (bez zapętlania się) dla dajmy na to podstawy logarytmu większej od \(\displaystyle{ 1}\), tj. dla funkcji logarytmicznej rosnącej?

A do czego możesz się odwołać?

JK

Mam to wykazać z definicji. Nie wiem czy mogę się tutaj odwołać do definicji logarytmu, gdy już mówimy o funkcji logarytmicznej.

Do czegoś musisz się odwołać.

A czy możesz skorzystać z monotoniczności funkcji wykładniczej?

JK

Zapewne chodzi o skorzystanie z monotoniczności funkcji wykładniczej, tylko pytanie czy ją też trzeba uzasadniać, czy przyjmujemy ją jako pewnik. Jeśli mamy uzasadnić monotoniczność funkcji wykładniczej, to najpierw dość oczywiste jest, że jest monotoniczna na zbiorze liczb całkowitych. W następnym kroku można pokazać monotoniczność na zbiorze liczb wymiernych. W końcu jednak trzeba powiedzieć o monotoniczności w całej dziedzinie liczb rzeczywistych. Ten ostatni krok nie jest przystępny dla uczniów liceum.

Treść zadania brzmi: Wykaż z definicji... Jest to zadanie ze zbioru do liceum, nie wiem czy mogę tutaj powoływać się na monotoniczność funkcji wykładniczej, ale zakładam, że nie.

Szkolna definicja logarytmu odwołuje się do funkcji wykładniczej, więc naturalnym jest skorzystanie z monotoniczności tejże funkcji.

JK

Musimy wykazać, że funkcja logarytmiczna:

\(\displaystyle{ f(x) = \log_{a}(x), \ \ a>0, \ \ a\neq 1, \ \ x>0, }\)

jest rosnąca, gdy \(\displaystyle{ a >0 }\)

i malejąca, gdy \(\displaystyle{ 0< a< 1. }\)

janusz47 pisze: ↑14 wrz 2022, o 16:50 jest rosnąca, gdy \(\displaystyle{ a >0 }\)

Raczej dla \(\displaystyle{ a>1.}\)

No ale to wiadomo od początku i nie tego dotyczy dyskusja.

JK

Chodziło mi o to, że aby wykazać monotoniczność funkcji logarytmicznej musimy wyjść od definicji tej funkcji.

O tym też mówiliśmy, a ponieważ jesteśmy w liceum, więc korzystamy z podstawowej definicji logarytmu.

JK

W zakresie rozszerzonym można odwołać się do funkcji wykładniczej i skorzystać z twierdzenia - " funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest funkcją rosnącą a funkcja odwrotna do funkcji malejącej jest malejąca".

Można też na poziomie rozszerzonym obliczyć pierwszą pochodną funkcji logarytmiczej i zauważyć, że znak tej pochodnej zależy od znaku logarytmu naturalnego z podstawy \(\displaystyle{ \ln(a) }\).

Oba sposoby (zwłaszcza drugi) raczej nie pasują do polecenia, by udowodnić to "z definicji" (domyślnie: monotoniczności). Podejrzewam, że zamiast powoływać się na wspomniane twierdzenie o funkcji odwrotnej należy po prostu wykonać proste rachunki.

JK

Z treści polecenia nie wynika aby korzystać tylko z definicji monotoniczności funkcji, aczkolwiek autor postu chce przeprowadzić "poprawny dowód monotoniczności funkcji logarytmicznej (bez zapętlania się) dla dajmy na to podstawy logarytmu większej od 1".

Słowa "poprawny dowód" mogą sugerować na dowód z definicji monotoniczności funkcji.

41421356 pisze: ↑14 wrz 2022, o 15:01 Treść zadania brzmi: Wykaż z definicji...

Z tego co rozumiem, treść zadania brzmi "Wykaż z definicji, że funkcja logarytmiczna jest monotoniczna", co dość jednoznacznie wskazuje na definicję monotoniczności.

JK