Monotoniczność logarytmu z definicji
-
- Użytkownik
- Posty: 538
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 495 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Monotoniczność logarytmu z definicji
Innymi słowy jak uzasadnić (oczywiście bez powoływania się na monotoniczność logarytmu), że:
\(\displaystyle{ \log_{a} x>0}\) jeśli \(\displaystyle{ x>1}\) oraz \(\displaystyle{ a>1}\)
?
\(\displaystyle{ \log_{a} x>0}\) jeśli \(\displaystyle{ x>1}\) oraz \(\displaystyle{ a>1}\)
?
-
- Administrator
- Posty: 34129
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Monotoniczność logarytmu z definicji
Wydaje mi się, że na początku chciałeś pokazywać monotoniczność funkcji logarytmicznej, a teraz chcesz pokazywać co innego?
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 538
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 495 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Monotoniczność logarytmu z definicji
Ten mój ostatni post jest właśnie częścią oraz ostatnim krokiem dowodu monotoniczności funkcji logarytmicznej:
\(\displaystyle{ f(x)=\log_{5} x \ , \ x \in\left(0,+\infty\right)}\)
\(\displaystyle{ f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\log_{5} x_1-\log_{5} x_2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =
\log_{5}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)
}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 0<x_1<x_2}\), więc \(\displaystyle{ 0<\frac{x_1}{x_2}<1}\). Zatem \(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)<0}\). Ostatecznie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(x_1)<f(x_2)}\), więc funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\log_{5} x}\) jest funkcją monotoniczną rosnącą.
\(\displaystyle{ f(x)=\log_{5} x \ , \ x \in\left(0,+\infty\right)}\)
\(\displaystyle{ f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\log_{5} x_1-\log_{5} x_2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =
\log_{5}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)
}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 0<x_1<x_2}\), więc \(\displaystyle{ 0<\frac{x_1}{x_2}<1}\). Zatem \(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)<0}\). Ostatecznie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(x_1)<f(x_2)}\), więc funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\log_{5} x}\) jest funkcją monotoniczną rosnącą.
-
- Użytkownik
- Posty: 22174
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Monotoniczność logarytmu z definicji
Lemat 1. Jeżeli `x>1`, to `ln x>0`
Dowód: Niech `\ln x=p`. Znaczy to, że `x=e^p`. A skoro `x>1` to `p>0` z własności funkcji wykładniczej.
Lemat 2. Jeżeli `x<1`, to `\ln x<0`
Dowód jest analogiczny.
Własność 1: funkcja `ln x` jest rosnąca.
Dowód: niech `0<x<y`. Wtedy \(\displaystyle{ \ln y-\ln x=\ln \frac{y}{x}=\ln \left(1+\frac{y-x}{x}\right)>0}\) na mocy lematu 1
Własność 2: funkcja `\log_a x` jest rosnąca gdy `a>1` i malejąca gdy `0<a<1`
Dowód wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}}\) i lematów 1 i 2 oraz własnosci 1
Dowód: Niech `\ln x=p`. Znaczy to, że `x=e^p`. A skoro `x>1` to `p>0` z własności funkcji wykładniczej.
Lemat 2. Jeżeli `x<1`, to `\ln x<0`
Dowód jest analogiczny.
Własność 1: funkcja `ln x` jest rosnąca.
Dowód: niech `0<x<y`. Wtedy \(\displaystyle{ \ln y-\ln x=\ln \frac{y}{x}=\ln \left(1+\frac{y-x}{x}\right)>0}\) na mocy lematu 1
Własność 2: funkcja `\log_a x` jest rosnąca gdy `a>1` i malejąca gdy `0<a<1`
Dowód wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}}\) i lematów 1 i 2 oraz własnosci 1
-
- Administrator
- Posty: 34129
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
-
- Administrator
- Posty: 34129
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Monotoniczność logarytmu z definicji
\(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)=a \Leftrightarrow 5^a=\frac{x_1}{x_2}}\)
Ale założyłeś, że \(\displaystyle{ 0<x_1<x_2}\), więc \(\displaystyle{ \frac{x_1}{x_2}<1}\) i korzystając z własności funkcji funkcji wykładniczej (np. \(\displaystyle{ f(x)=5^x}\) jest rosnąca i \(\displaystyle{ f(0)=1}\)) otrzymujesz, że \(\displaystyle{ a<0.}\)
Zresztą a4karo już Ci to rozpisał.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 538
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 495 razy
- Pomógł: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7911
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Monotoniczność logarytmu z definicji
\(\displaystyle{ 0< \frac{x_{1}}{x_{2}} < 1, \ \ 0< x_{1} < x_{2} \ \ [ z \ \ monotoniczności \ \ funkcji \ \ logarytmicznej \ \ przy \ \ podstawie \ \ p=5> 1 ] }\)
\(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) = \log_{5}(x_{1}) - \log_{5}(x_{2}) < 0. }\)
\(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) = \log_{5}(x_{1}) - \log_{5}(x_{2}) < 0. }\)
-
- Administrator
- Posty: 34129
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Monotoniczność logarytmu z definicji
No ale to nie ma sensu: pokazujesz monotoniczność funkcji logarytmicznej korzystając z monotoniczności funkcji logarytmicznej?janusz47 pisze: ↑16 wrz 2022, o 16:45 \(\displaystyle{ 0< \frac{x_{1}}{x_{2}} < 1, \ \ 0< x_{1} < x_{2} \ \ [ z \ \ monotoniczności \ \ funkcji \ \ logarytmicznej \ \ przy \ \ podstawie \ \ p=5> 1 ] }\)
\(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) = \log_{5}(x_{1}) - \log_{5}(x_{2}) < 0. }\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22174
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Monotoniczność logarytmu z definicji
Albo ja czegoś nie rozumiem, albo dowodzisz monotoniczności logarytmu korzystając z monotoniczności logarytmujanusz47 pisze: ↑16 wrz 2022, o 16:45 \(\displaystyle{ 0< \frac{x_{1}}{x_{2}} < 1, \ \ 0< x_{1} < x_{2} \ \ [ z \ \ monotoniczności \ \ funkcji \ \ logarytmicznej \ \ przy \ \ podstawie \ \ p=5> 1 ] }\)
\(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) = \log_{5}(x_{1}) - \log_{5}(x_{2}) < 0. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7911
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Monotoniczność logarytmu z definicji
Może bardziej poprawnie.
Jeśli argument funkcji spełnia nierówność \(\displaystyle{ 0< \frac{x_{1}}{x_{2}}< 1}\) to wartość funkcji \(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) = \log_{5}(x_{1}) - \log_{5}(x_{2})< 0 }\) (korzystając z własności logarytmu).
Jeśli argument funkcji spełnia nierówność \(\displaystyle{ 0< \frac{x_{1}}{x_{2}}< 1}\) to wartość funkcji \(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) = \log_{5}(x_{1}) - \log_{5}(x_{2})< 0 }\) (korzystając z własności logarytmu).
-
- Administrator
- Posty: 34129
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Monotoniczność logarytmu z definicji
No OK, ale tutaj staraliśmy się nie odwoływać do żadnych własności funkcji logarytmicznej.
JK
JK