Monotoniczność logarytmu z definicji

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: 41421356 »

Innymi słowy jak uzasadnić (oczywiście bez powoływania się na monotoniczność logarytmu), że:

\(\displaystyle{ \log_{a} x>0}\) jeśli \(\displaystyle{ x>1}\) oraz \(\displaystyle{ a>1}\)

?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: Jan Kraszewski »

Wydaje mi się, że na początku chciałeś pokazywać monotoniczność funkcji logarytmicznej, a teraz chcesz pokazywać co innego?

JK
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: 41421356 »

Ten mój ostatni post jest właśnie częścią oraz ostatnim krokiem dowodu monotoniczności funkcji logarytmicznej:

\(\displaystyle{ f(x)=\log_{5} x \ , \ x \in\left(0,+\infty\right)}\)

\(\displaystyle{ f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\log_{5} x_1-\log_{5} x_2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =
\log_{5}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)
}\)


Ponieważ \(\displaystyle{ 0<x_1<x_2}\), więc \(\displaystyle{ 0<\frac{x_1}{x_2}<1}\). Zatem \(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)<0}\). Ostatecznie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(x_1)<f(x_2)}\), więc funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\log_{5} x}\) jest funkcją monotoniczną rosnącą.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: a4karo »

Lemat 1. Jeżeli `x>1`, to `ln x>0`
Dowód: Niech `\ln x=p`. Znaczy to, że `x=e^p`. A skoro `x>1` to `p>0` z własności funkcji wykładniczej.
Lemat 2. Jeżeli `x<1`, to `\ln x<0`
Dowód jest analogiczny.

Własność 1: funkcja `ln x` jest rosnąca.
Dowód: niech `0<x<y`. Wtedy \(\displaystyle{ \ln y-\ln x=\ln \frac{y}{x}=\ln \left(1+\frac{y-x}{x}\right)>0}\) na mocy lematu 1

Własność 2: funkcja `\log_a x` jest rosnąca gdy `a>1` i malejąca gdy `0<a<1`
Dowód wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}}\) i lematów 1 i 2 oraz własnosci 1
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: Jan Kraszewski »

41421356 pisze: 15 wrz 2022, o 16:28 Zatem \(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)<0}\).
A potrafisz to uzasadnić?

JK
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: 41421356 »

No właśnie to jest sednem sprawy. Nie wiem jak udowodnić ten fragment.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: janusz47 »

Na co możesz zamienić logarytm ilorazu, korzystając z własności logarytmu ?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: Jan Kraszewski »

41421356 pisze: 15 wrz 2022, o 20:51 No właśnie to jest sednem sprawy. Nie wiem jak udowodnić ten fragment.
\(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)=a \Leftrightarrow 5^a=\frac{x_1}{x_2}}\)

Ale założyłeś, że \(\displaystyle{ 0<x_1<x_2}\), więc \(\displaystyle{ \frac{x_1}{x_2}<1}\) i korzystając z własności funkcji funkcji wykładniczej (np. \(\displaystyle{ f(x)=5^x}\) jest rosnąca i \(\displaystyle{ f(0)=1}\)) otrzymujesz, że \(\displaystyle{ a<0.}\)

Zresztą a4karo już Ci to rozpisał.

JK
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: 41421356 »

janusz47 pisze: 15 wrz 2022, o 21:12 Na co możesz zamienić logarytm ilorazu, korzystając z własności logarytmu ?
Na różnicę logarytmów. Tylko nie bardzo wiem po co.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ 0< \frac{x_{1}}{x_{2}} < 1, \ \ 0< x_{1} < x_{2} \ \ [ z \ \ monotoniczności \ \ funkcji \ \ logarytmicznej \ \ przy \ \ podstawie \ \ p=5> 1 ] }\)
\(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) = \log_{5}(x_{1}) - \log_{5}(x_{2}) < 0. }\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: Jan Kraszewski »

janusz47 pisze: 16 wrz 2022, o 16:45 \(\displaystyle{ 0< \frac{x_{1}}{x_{2}} < 1, \ \ 0< x_{1} < x_{2} \ \ [ z \ \ monotoniczności \ \ funkcji \ \ logarytmicznej \ \ przy \ \ podstawie \ \ p=5> 1 ] }\)
\(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) = \log_{5}(x_{1}) - \log_{5}(x_{2}) < 0. }\)
No ale to nie ma sensu: pokazujesz monotoniczność funkcji logarytmicznej korzystając z monotoniczności funkcji logarytmicznej?

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 16 wrz 2022, o 16:45 \(\displaystyle{ 0< \frac{x_{1}}{x_{2}} < 1, \ \ 0< x_{1} < x_{2} \ \ [ z \ \ monotoniczności \ \ funkcji \ \ logarytmicznej \ \ przy \ \ podstawie \ \ p=5> 1 ] }\)
\(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) = \log_{5}(x_{1}) - \log_{5}(x_{2}) < 0. }\)
Albo ja czegoś nie rozumiem, albo dowodzisz monotoniczności logarytmu korzystając z monotoniczności logarytmu
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: janusz47 »

Może bardziej poprawnie.

Jeśli argument funkcji spełnia nierówność \(\displaystyle{ 0< \frac{x_{1}}{x_{2}}< 1}\) to wartość funkcji \(\displaystyle{ \log_{5}\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) = \log_{5}(x_{1}) - \log_{5}(x_{2})< 0 }\) (korzystając z własności logarytmu).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Monotoniczność logarytmu z definicji

Post autor: Jan Kraszewski »

No OK, ale tutaj staraliśmy się nie odwoływać do żadnych własności funkcji logarytmicznej.

JK
ODPOWIEDZ