Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{\ln(x)}{x-1} \le \frac{1+ \sqrt[3]{x} }{x+ \sqrt[3]{x} } }\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) i \(\displaystyle{ x \neq 1}\).

ja zacząłem od tego:
\(\displaystyle{
\frac{\ln(x)}{x-1} \le \frac{1+ \sqrt[3]{x} }{x+ \sqrt[3]{x} } \\
\frac{\ln(x)}{x-1} \le \frac{1+ \sqrt[3]{x} }{x+ \sqrt[3]{x} } \cdot \frac{x^2 -x\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2}}{x^2 -x\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2}}\\
\frac{\ln(x)}{x-1} \le \frac{ (1+\sqrt[3]{x})\left( x^2 -x\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2} \right) }{ x^3 + x } \\
\frac{\ln(x)}{x-1} \le \frac{ x^2 -x\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2} + x^2\sqrt[3]{x} -x\sqrt[3]{x^2} + x }{ x^3 + x } \\
y = \sqrt[3]{x}\\
\frac{\ln(y^3)}{y^3-1} \le \frac{ y^6 -y^4 + y^2 + y^7 -y^5 + y^3 }{ y^9 + y^3 } \\
\frac{3\ln(y)}{y^3-1} \le \frac{ y^5 +y^4 -y^3-y^2 + y +1 }{ y^7 + y } \\

}\)

tylko nie mam pomysłu co dalej

Podstawienie `y=x^{1/3}` zamienia nierówność na
\(\displaystyle{ \frac{3\ln y}{y^3-1}\le \frac{1+y}{y^3+y}}\)

Niech \(\displaystyle{ f(y)=\frac{(y^3-1)(1+y)}{y^3+y}-3\ln y}\)
Nieoceniony Wolfram podpowiada, że
\(\displaystyle{ f'(y)=\frac{(y-1)^4(y^2+y+1)}{(y^3+y)^2}>0}\) dla `y\ne 1`, co w połączeniu z `f(1)=0` natychmiast daje tezę

Tak ale to może nie zadziałać dla \(\displaystyle{ y<1}\)...

Wyjaśnienie dla tych, co wolą pisać niż przeliczyć
Funkcja `f` jest ściśle rosnąca, więc jest ujemna dla `y<1`.

Innymi słowy, dla `y<1` mamy \(\displaystyle{ \frac{(y^3-1)(1+y)}{y^3+y}<3\ln y}\). Dzieląc obie strony przez ujemne `y^3-1` dostajemy to, co trzeba.