Matematyka.pl

W książce z podstaw matematycznych natknąłem się na stwierdzenie

\(\displaystyle{ (n/2)^{\ln(n)}}\) ma logarytm postaci \(\displaystyle{ \Theta(\log_2^2n)}\)

czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć w jaki sposób doszło do przekształcenia pierwszej funkcji na tą równoważną postać logarytmiczną?

Zlogarytmuj to wyrażenie i wszystko będzie jasne

A rozumiesz/znasz definicje/warunek przynależności do \(\displaystyle{ \Theta\left( f\right) }\)?

Janusz Tracz pisze: ↑27 lut 2022, o 12:58 A rozumiesz/znasz definicje/warunek przynależności do \(\displaystyle{ \Theta\left( f\right) }\)?

\(\displaystyle{ f(x)}\) jest \(\displaystyle{ \Theta(g(x))}\) w przypadku gdy istnieje jakieś \(\displaystyle{ C_1, C_2 \in R}\), takie że \(\displaystyle{ C_1g(x) \leq f(x) \leq C_2g(x)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x > x_0}\) - rozumiem to

Nie rozumiem jak autor stwierdzenia, które zacytowałem na początku do tego doszedł.

Na początek warto zauważyć, że \(\displaystyle{ \Theta(\log_2^2n) = \Theta(\ln ^2n)}\) bo \(\displaystyle{ \log}\) od \(\displaystyle{ \ln}\) różnią się o stałą multiplikatywną podobnie ich kwadraty. Ponadto

zatem tak na oko powinno od pewnego miejsca zajęć
przy czym prawa nierówność jest oczywista, a lewa zajdzie, gdy \(\displaystyle{ \ln 2 \le \frac{99}{100}\ln n }\) (co wobec monotoniczności i nieograniczoności prawej strony można zagwarantować).

Janusz Tracz pisze: ↑27 lut 2022, o 14:33

\(\displaystyle{ \ln \left( \frac{n}{2} \right)^{\ln n}=\ln ^2n-\ln 2 \cdot \ln n }\)

W jaki sposób początkowe \(\displaystyle{ ( \frac{n}{2} )^{\ln n}}\) zostało przekształcone w \(\displaystyle{ \ln \left( \frac{n}{2} \right)^{\ln n}}\)?

bartekw2213 pisze: ↑27 lut 2022, o 14:49 W jaki sposób początkowe \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{2}\right) ^{\ln n}}\) zostało przekształcone w \(\displaystyle{ \ln \left( \frac{n}{2} \right)^{\ln n}}\)?

Zostało zlogarytmowane jak proszą w Twojej książce.

Dzięki za pomoc