Czy obie strony równania są równoważne
\(\displaystyle{ e ^{\int_{0}^{\pi}\log f(x)dx}= \int_{0}^{\pi}f(x)dx}\) ?
exp i całka
-
- Użytkownik
- Posty: 179
- Rejestracja: 8 sty 2012, o 12:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 3 razy
exp i całka
Ostatnio zmieniony 26 maja 2016, o 22:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
exp i całka
Zdecydowanie nie. Nie można tak sobie po prostu zamienić kolejności całkowania z logarytmowaniem.
Już nie wspominając o tym, że po prawej stronie \(\displaystyle{ f}\) może bywać ujemna lub równa zero na przedziale \(\displaystyle{ [0,\pi]}\), a po lewej nie, więc nawet dziedziny tych wyrażeń są różne.
Bezpośredni kontrprzykład:
niech \(\displaystyle{ f(x)=x}\). Wtedy prawa strona to
\(\displaystyle{ \frac{\pi^{2}}{32}}\), a całka w wykładniku po lewej nie jest nawet zbieżna.
Już nie wspominając o tym, że po prawej stronie \(\displaystyle{ f}\) może bywać ujemna lub równa zero na przedziale \(\displaystyle{ [0,\pi]}\), a po lewej nie, więc nawet dziedziny tych wyrażeń są różne.
Bezpośredni kontrprzykład:
niech \(\displaystyle{ f(x)=x}\). Wtedy prawa strona to
\(\displaystyle{ \frac{\pi^{2}}{32}}\), a całka w wykładniku po lewej nie jest nawet zbieżna.