Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania

Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} }\) są dodadnimi liczbami rzeczywistymi oraz \(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2} \cdot ... \cdot x_{n} = \pi }\), to
\(\displaystyle{ (\log_ \pi x_{1} )^2+(\log_ \pi x_{2} )^2+...+(\log_ \pi x_{n} )^2 \ge \frac{1}{n} }\)

powinno dać odpowiedź. Sprawdzałeś?

Tyle, że `\log_\pi x_i` wcale nie muszą być dodatnie.

Nierówność Cauchy'ego sie kłania

Nawet o tym nie pomyślałem, bardzo dziękuję za pomoc.

@a4karo ok w linku jest faktycznie napisane, że zmienne mają być nieujemne ale chyba łatwo widać, że jeśli zachodzi
dla nieujemnych \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n}\) to dla ujemnych zajdzie tym bardziej.

PS AM-KM dowodzi (można nie trzeba) się za pomocą C-S więc na jedno wychodzi.

PPS chyba, że to była uwaga do autora aby uważał na założenia...

Ale jeżeli powołujesz się na nierówności dla średnich, to trzeba to uzasadnić (chyba widać, że tym bardziej to dośc słąbe uzasadnienie )