Dlaczego dziedzina tak wygląda?

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Vamonus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 25 sie 2022, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 15

Dlaczego dziedzina tak wygląda?

Post autor: Vamonus »

Witam,
dlaczego funkcja o wzorze \(\displaystyle{ f(x) = x^x}\) nie przyjmuje wartości dla argumentów z przedziału \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ ( -\infty; 0)}\)?
Przykładowo dla argumentów \(\displaystyle{ -4}\) i \(\displaystyle{ -3}\) istnieją wartości:
\(\displaystyle{ f(-4) = (-4)^{-4} = \frac{1}{256}\\
f(-3) = (-3)^{-3} = -\frac{1}{27}}\)

dlaczego wykres tej funkcji nie przecina osi \(\displaystyle{ y}\) (bez \(\displaystyle{ 0}\)) i nie idzie dalej?
I jeszcze jedno, czy dziedzina tej funkcji to \(\displaystyle{ D = \RR \setminus \{0\}}\) ?
Z góry dziękuję i pozdrawiam :
Ostatnio zmieniony 25 sie 2022, o 21:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dlaczego dziedzina tak wygląda?

Post autor: a4karo »

Masz rację, że dla niektórych liczb wymierny można określić wartość wyrażenia `x^x`, ale ogólnie jest z tym więcej kłopotu niż pożytku. Nie da się tego zrobić dla liczb niewymiernych, a dla wymiernych nie działają zwykłe reguły, do których jesteśmy przyzwyczajeni. Np.~
\(\displaystyle{ -1=(-1)^{-1}=(-1)^{\frac{2}{-2}}=\left((-1)^2\right)^{-1/2}=1.}\)
Dlatego dziedziną tej funkcji jest zbiór `(0,\infty)`.
Ostatnio zmieniony 25 sie 2022, o 22:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dlaczego dziedzina tak wygląda?

Post autor: Jan Kraszewski »

a4karo pisze: 25 sie 2022, o 22:44 Masz rację, że dla niektórych liczb wymierny można określić wartość wyrażenia `x^x`, ale ogólnie jest z tym więcej kłopotu niż pożytku. Nie da się tego zrobić dla liczb niewymiernych, a dla wymiernych nie działają zwykłe reguły, do których jesteśmy przyzwyczajeni.
Mówimy oczywiście o liczbach wymiernych/niewymiernych ujemnych.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dlaczego dziedzina tak wygląda?

Post autor: a4karo »

O nie było pytanie, więc uznałem to za oczywistą oczywistość
ODPOWIEDZ