Matematyka.pl

Witam,

Mam problem z zadaniami podobnymi. Nie mam pojęcia jak rozwiązywać tego typu zadanka. Czy ktoś może pomóc?

Moje przyklady:

1.Dla jakich wartości parametru a równanie ma pierwiastek ujemny?

\(\displaystyle{ \log_{0,5}{(x+1)}=a^{2}-2}\)

2. Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki?

\(\displaystyle{ 9^{x}-(m+1)\cdot 3^{x+1}+2m+2=0}\)

Zadanek mam więcej, ale nie chce Was w swięta obciążać Jesli ktoś mógłby wytlumaczyć sposób rozwiązywania takich zadań, to byłabym wdzięczna bardzo. A do tych zadań posiadam odpowiedzi, jak coś to mozna sprawdzic.

Pozdrawiam.

mahila pisze: 2. Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki?

\(\displaystyle{ 9^{x}-(m+1)\cdot 3^{x+1}+2m+2=0}\)

\(\displaystyle{ 9^x=3^{2x}}\) wstawiamy zamiast \(\displaystyle{ 3^x=t}\) gdzie t>0.

\(\displaystyle{ t^2-(m+1)3t+2n+2=0}\)

Żeby równanie miało różne pierwiastki to musi spełniać nastepujące warunki:

\(\displaystyle{ \Delta>0}\), oraz t>0

Aby \(\displaystyle{ t>0}\) muszą być spełnione warunki \(\displaystyle{ t_1+t_2>0}\) i \(\displaystyle{ t_1 \cdot t_2>0}\)

A to łatwo policzysz ze wzorów Viete'a

Mahila, nie dopisuj swoich zadań do czyjegoś tematu, zakładaj nowe wątki.

olazola: Ok dzięki, będe pamietać.

Co do zadania: szczerze mówiąc, to mi nie wyszło, ale to moja wina.

Doszłam do \(\displaystyle{ (-\infty;-1)\,\cup\,(-\frac{1}{9};+\infty)}\)

Wynikiem jest tylko ta druga część zbioru, zatem pierwszą muszę wykluczyć zapewne za pomoca wzorow Viete'a, tylko chyba jestem za tępa na to. Kombinowałam, ale nic mi nie wychodzi. Jakby ktoś mógł mi to metoda lopatologiczna opisać, to byloby milo

Aha i jeszcze nie rozumiem jednego. Pierwiastki równania mają być różnych znakow, zatem \(\displaystyle{ t_{1}t_{2}}\). Wg Skrzypu powinno być wieksze od 0, zatem pierwiastki są takich samych znakow. Ale jesli to jest warunek, by t>0, to ja juz nie rozumiem

kuch2r pisze: \(\displaystyle{ t^2-\frac{m+1}{3}t+2n+2=0\\3t^2-(m+1)t+6n+6=0}\)

Nie mam pojęcia skąd ta 3 w mianowniku?

\(\displaystyle{ 3^{x+1}=3\cdot 3^x}\)

Jeśli chodzi o rozwiązanie zadania, to musisz zastosować warunek, który napisał Skrzypu. Mamy podstawienie, gdzie t>0 i właśnie te warunki to nam gwarantują.

A w treści zadania nie ma mowy o pierwiastakch równych znaków, tylko różnych, czyli wykluczamy możliwość podwójnego pierwiastka który występuje przy delcie równej 0.

W pierwszym więc szukamy takich \(\displaystyle{ x\in (-1, 0)}\) (z założeń i z pierw ujemnego)
A więc:

\(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{2}}(x+1)=a^{2}-2\\ \log_{\frac{1}{2}}(x+1)=\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{a^{2}-2} \\ x+1=(\frac{1}{2})^{a^{2}-2} \\ x=4\frac({1}{2})^{a^{2}}-1 4(\frac{1}{2})^{a^{2}}-1-1 więc:

\(\displaystyle{ 4(\frac{1}{2})^{a^{2}}-1>-1\\4(\frac{1}{2})^{a^{2}}>0}\)

Nierówność spełniona dla każdego a, więc wystarczą nam przedziały z pierwszej nierówności.}\)

No, już wszystko zrozumiałam ^^ tylko nadal mam problem mały z zadaniem drugim.
Konkretnie chodzi o te zbiory liczby m, o ktorych wczesniej pisalam. Stwierdzilam, że będe przyjmować, że zbior dla m>0 bedzie prawidłowy. I jak na razie sie sprawdza.
Dzieki za pomoc! ^^