Matematyka.pl

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 16^{x^2+y} + 16^{x+y^2} =1 }\) (w zbiorze liczb rzeczywistych)

Na mocy AG
\(\displaystyle{ 16^{x^2+y}+16^{x+y^2}\ge 2\sqrt{16^{x^2+x+y^2+y}}=4^{(x+1/2)^2+(y+1/2)^2}\ge 1}\)
z równościa wtedy i tylko wtedy gdy `x=y=1/2`

a4karo pisze: ↑4 lut 2024, o 17:10 z równościa wtedy i tylko wtedy gdy `x=y=1/2`

Chyba z równością wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x=y=\red{-}\frac12.}\)

JK

Oczy wiście

Nie można zapisać, że \(\displaystyle{ 1= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} }\)? I wtedy
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y^{2}=- \frac{1}{4} \\ x^{2}+y= - \frac{1}{4} \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ x+( \frac{1}{4} +x^{2})^{2}=- \frac{1}{4} }\)
Zamiast się męczyć z tym pytamy się wolframa i wychodzi \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2}}\) i przez to \(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2}}\), bo inne rozwiązania są zespolone.

Ale mój pomysł jest chyba dość głupi, bo jedynkę można rozbić na wiele sum dwóch dodatnich liczb, a ja rozważyłam szczególny przypadek. I zasadniczy problem jest taki, że ogólnie to ja nie umiem.
Niech \(\displaystyle{ a\in(0,1)}\), zera i jedynki nie bierzemy, bo wtedy będą musiały być potęgi nieograniczone.
\(\displaystyle{ 16^{x+y^{2}} +16^ =a^{?} +(1-a)^{?}}\)
No i nie wiem, jak to rozwiązać.

Dodano po 48 minutach 16 sekundach:
Po dłuższym zastanowieniu \(\displaystyle{ a}\) jest w pierwszej potędze.