Matematyka.pl

wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x>1}\), to \(\displaystyle{ x^{2009} -1 > 2009(x-1)}\)

moze z tw. Lagrange'a?
Jezeli funkcja f jest ciagla na [a,b] i rozniczkowalna na (a,b) to istnieje takie \(\displaystyle{ c \in (a,b)}\), ze:
\(\displaystyle{ \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)}\)
U nas \(\displaystyle{ a = 1 \ b = x}\) (gdzie \(\displaystyle{ a}\)) oraz \(\displaystyle{ f(x) = x^{2009} -1 \ f \in C^1_{(1,x)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = \frac{f(x) - 0}{x-1} = \frac{x^{2009} -1}{x-1} = (x^{2009} -1)_{x=c}^{'} \Leftrightarrow x^{2009} -1 = (x-1)(x^{2009} -1)_{x=c}^{'} \Leftrightarrow x^{2009} -1 = (x-1)2009c^{2008}}\)
Wiemy, ze \(\displaystyle{ 1}\) , zatem:
\(\displaystyle{ x^{2009} -1 > 2009(x-1)}\)

jeszcze nie miałam różniczkowania. Można to zrobić w jakiś inny sposób?

Nie wiem czy coś ci to da ale jeśli 2009=n to x podniesione do n zawsze będzie większe od x pomnożone przez n nawet jeśli będzie -c (c=2008). Tylko jak to wykazać? proponuję graficznie.
Narysuj wpierw wykres y=2009x-2008 i drugi y=x ^2009 (drugi oznacz symbolicznie narysuj ostrą kreskę w górę). Ja bym tak zrobił na przerwie ;p


Pamiętaj że x>1!!

jak nie chesz za pomoca rozniczek, to mozesz tak:
\(\displaystyle{ a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b+ ... +ab^{n-2} +b^{n-1})}\)
U nas mamy: \(\displaystyle{ n=2009}\)
\(\displaystyle{ x^{2009} - 1 = x^{2009} - 1^{2009} = (x-1)(x^{2008}+x^{2007}+...+x+1)}\)
Wiemy, ze\(\displaystyle{ x>1}\) zatem:
\(\displaystyle{ (x^{2008}+x^{2007}+...+x+1) > 1^{2008} + 1^{2007} + .. + 1+1 = \underbrace{1+1+\ldots+1}_{2009} = 2009}\)
czyli
\(\displaystyle{ (x-1)(x^{2008}+x^{2007}+...+x+1) > (x-1) \cdot 2009}\)
wniosek koncowy:
\(\displaystyle{ x^{2009} -1 > (x-1) 2009}\)
koniec