Matematyka.pl

Witam,
mam układ 2 równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y=5k+5 \\ 3x-y=k-6 \end{cases}}\)

Dla jakich wartości parametru k, układ jest prawdziwy, dodatkowo para liczb ma spełniać warunek

\(\displaystyle{ |x|-|y|<1}\)

Policzyłem na początku wyznacznikami, wyliczyłem x i y. Potem sobie rozpatrzyłem przypadki w tym warunku, podstawiłem, sprawdziłem i otrzymałem wynik, że

\(\displaystyle{ k \in (- \infty , 3)}\)

Czuję, że coś jest źle, tylko co... Będę wdzięczny za jakieś sugestie.

Powinieneś rozwiązać taką nierówność:
\(\displaystyle{ \left| \frac{-7k+7}{-7} \right| -\left| \frac{-14k-21}{-7} \right|<1}\)

Mi wyszło:
\(\displaystyle{ k \in \left( - \infty ;-3\right) \cup \left( - 1;+ \infty \right)}\)

OK, dzięki, znowu roztargnienie. Zrobiłem jeszcze raz na spokojnie i wszystko ok.

Jeszcze się tylko upewnię: jak mam załóżmy k > -1 i sprawdzam w \(\displaystyle{ k \in <-1,5;1)}\), to pod żadnym pozorem nie przepuszczam, nie? Musi być zały zakres, a w przypadku równości konkretna wartość, aby puścić dalej?

Nie bardzo rozumiem, co masz na myśli mówiąc "puścić".
Jeżeli sprawdzasz w przedziale: \(\displaystyle{ k \in \left<-1,5;1\right)}\) i otrzymujesz: \(\displaystyle{ k>-1}\), to z tego masz zbiór: \(\displaystyle{ k \in \left( -1;1\right)}\). W następnych przypadkach również sprawdzasz i sumujesz wszystkie 3 zbiory. O to chodziło?

Tylko teraz suma czy iloczyn? Jak iloczyn to zbiór pusty wtedy jest. Już sam nie wiem...

Ale w którym momencie?

Rozpatrując dla przedziału:
I. \(\displaystyle{ k<-1,5}\), otrzymałeś \(\displaystyle{ k<-3}\) - część wspólna: \(\displaystyle{ \red k<-3}\)
II. \(\displaystyle{ k \in \left< -1,5;1\right)}\), otrzymałeś \(\displaystyle{ k>-1}\) - część wspólna: \(\displaystyle{ \red k \in \left( -1;1\right)}\)
III. \(\displaystyle{ k \ge 1}\), otrzymałeś \(\displaystyle{ k>-5}\) - część wspólna: \(\displaystyle{ \red k \ge 1}\)

Teraz wszystko co na czerwono sumujesz i otrzymujesz: \(\displaystyle{ k \in \left( - \infty ;-3\right) \cup \left( -1;+ \infty \right)}\)

Zgadza się?

Ok, już widzę, dzięki.