Zad.
Dany jest układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} mx+y=1\\x-y=2m\end{cases}}\)
Dla jakich wartości układ równań przedstawia dwie proste pokrywające się?
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ W=-m-1 \\
W_{x}=-1-2m \\
W_{y}=2m^{2}-1}\)
Układ równań przedstawia dwie proste pokrywające się gdy jest układem nieoznaczonym, tzn.
gdy \(\displaystyle{ W=0}\) i \(\displaystyle{ W_{x}=0}\).
\(\displaystyle{ W=0 \Longleftrightarrow -m-1=0 \Longleftrightarrow m=-1 \\
W_{x}=0 \Longleftrightarrow 1-2m=0 \Longleftrightarrow m= -\frac{1}{2}}\)
Nie ma takiej wartości \(\displaystyle{ m}\), dla której układ byłby układem nieoznaczonym i przedstawiał dwie proste pokrywające się.
Moje pytanie dotyczy tego. Dlaczego nie obliczamy wartości \(\displaystyle{ m}\) z wyznacznika \(\displaystyle{ W_{y}}\), tylko samo \(\displaystyle{ m}\) z \(\displaystyle{ W_{x}}\) przecież warunek na układ nieoznaczony w tablicach matematycznych jest taki \(\displaystyle{ W=0}\) i \(\displaystyle{ W_{x}=0}\) i \(\displaystyle{ W_{y}=0}\) ?
Dlaczego badamy tylko \(\displaystyle{ m}\) z wyznacznika \(\displaystyle{ W_{x}}\)?
Metoda wyznaczników. Układ równań.
Metoda wyznaczników. Układ równań.
Ostatnio zmieniony 8 mar 2019, o 20:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Metoda wyznaczników. Układ równań.
Można udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ W=W_x=0}\), to także \(\displaystyle{ W_y=0}\).
To wynika z pewnych własności wyznaczników znanych w matematyce wyższej. Otóż jeśli \(\displaystyle{ W=0}\), to kolumny tego wyznacznika są proporcjonalne. Więc mając wyznacznik \(\displaystyle{ W_x=0}\), wyznacznik \(\displaystyle{ W_y}\) otrzymujemy przez podmianę kolumny \(\displaystyle{ x}\) na kolumnę \(\displaystyle{ y}\) (proporcjonalną) i zamianę kolejności kolumn. Stąd jeśli \(\displaystyle{ W=W_x=0}\), to także \(\displaystyle{ W_y=0.}\)
To wynika z pewnych własności wyznaczników znanych w matematyce wyższej. Otóż jeśli \(\displaystyle{ W=0}\), to kolumny tego wyznacznika są proporcjonalne. Więc mając wyznacznik \(\displaystyle{ W_x=0}\), wyznacznik \(\displaystyle{ W_y}\) otrzymujemy przez podmianę kolumny \(\displaystyle{ x}\) na kolumnę \(\displaystyle{ y}\) (proporcjonalną) i zamianę kolejności kolumn. Stąd jeśli \(\displaystyle{ W=W_x=0}\), to także \(\displaystyle{ W_y=0.}\)
Metoda wyznaczników. Układ równań.
... która nie do końca jest poprawna, na co wskazuje przykład układu sprzecznego \(\displaystyle{ x=1, x=2.}\)aldonask pisze:Dziękuje za odpowiedz.
-
- Użytkownik
- Posty: 22233
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Metoda wyznaczników. Układ równań.
Warunek \(\displaystyle{ W=W_x=W_y=0}\) może zdarzyć się również w układzie sprzecznym, więc zerowanie wyznaczników jeszcze o niczym nie świadczy.
Natomiast rozumować można tak: jeżeli układ ma mieć nieskończenie wiele rozwiązań, to z pewnością musi zachodzi \(\displaystyle{ W=0}\), skąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ m=-1}\)
Ale dla \(\displaystyle{ m=-1}\) układ ma postać
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+y=1\\x-y=-2\end{cases}}\),
więc jest ewidentnie sprzeczny. Koniec.
Natomiast rozumować można tak: jeżeli układ ma mieć nieskończenie wiele rozwiązań, to z pewnością musi zachodzi \(\displaystyle{ W=0}\), skąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ m=-1}\)
Ale dla \(\displaystyle{ m=-1}\) układ ma postać
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+y=1\\x-y=-2\end{cases}}\),
więc jest ewidentnie sprzeczny. Koniec.