Dane jest równanie kwadratowe \(\displaystyle{ x^2+px+q=0}\) oraz układ \(\displaystyle{ POQ}\) współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie. Wyznaczyć zbiór punktów płaszczyzny \(\displaystyle{ POQ}\) dla których dane równanie ma jeden pierwiastek dwa razy większy od drugiego.
Moim rozwiązaniem tego zadania było określenie, że:
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{-p- \sqrt{p^2-4q} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{-p+ \sqrt{p^2-4q} }{2}}\)
Więc \(\displaystyle{ x_{2}=2 x_{1}}\)
Problem polega na tym, że po obliczeniach dochodzę do \(\displaystyle{ 3 \sqrt{p^2-4q}=-p}\). Skoro pierwiastek jest zawsze \(\displaystyle{ \ge 0}\), to muszę wprowadzić warunek, że \(\displaystyle{ p \in (- \infty ,0 \right\rangle}\), dzięki czemu mogę podnieść do kwadratu i wychodzi \(\displaystyle{ q= \frac{2p^2}{9}}\). Ostateczne wyrażenie jest poprawne, jednak według odpowiedzi dla \(\displaystyle{ p \in R}\), gdyż robią to innym sposobem i im ta dziedzina nie wychodzi. Gdzie w takim razie leży błąd?