Matematyka.pl

Napisz warunki (Wzory Viete'a) dla których równanie kwadratowe \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\)

a) ma dwa różne pierwiastki z których jeden jest mniejszy od \(\displaystyle{ 0}\), a drugi jest większy od \(\displaystyle{ 3}\).
b) ma dwa różne pierwiastki, które spełniają warunek \(\displaystyle{ 3x_1-2x_2=4}\).

Mam pytanie, jak zapisać te warunki za pomocą wzorów Viete'a? Znam wzory na sumę i iloczyn pierwiastków, ale przy takich dziwacznych warunkach to nie wiem jak zapisać te warunki. Może mi ktoś pomóc?

Oczywiście wyróżnik większy od zera, ale to trywialne, idźmy dalej. Może trochę backgroundu do tego, co zrobię:
nie można wyrazić niesymetrycznych warunków przez symetryczne wzory Viete'a, a jeśli \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) są ustalone, to te warunki są niesymetryczne. Trzeba więc je przerobić na symetryczne, na przykład tak:
b) jeśli \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) są określone, to chodzi o to, by zaszła co najmniej jedna z równości
\(\displaystyle{ 3x_1-2x_2=4, \ 3x_2-2x_1=4}\), a stąd
\(\displaystyle{ (3x_1-2x_2-4)(3x_2-2x_1-4)=0}\). Rozwiń ten iloczyn i zastąp odpowiednie wyrażenia z pierwiastkami przez wzory Viete'a. Po drodze oczywista sztuczka \(\displaystyle{ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy}\).
a) A to mi się wydaje nieco trudniejsze. Taki pomysł:
\(\displaystyle{ x_1x_2<0, (x_1-3)(x_2-3)<0}\).
Dlaczego to działa? Z pierwszego warunku wynika, że dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) jest ujemna, tak jak chcemy.
Mając pierwszy warunek, wiemy, że któraś z liczb \(\displaystyle{ x_1-3, x_2-3}\) będzie tym bardziej ujemna, a zatem by druga była większa niż zero, potrzeba i wystarcza, by iloczyn był mniejszy od zera.

a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a>0 \\ \Delta >0 \\ x_{1}\cdot x_{2}< 0 \\ a\cdot f(3)<0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a<0 \\ \Delta >0 \\ x_{1}\cdot x_{2}< 0 \\ a\cdot f(3)>0 \end{cases} }\)