Matematyka.pl

wyznacz równanie krzywej, jaką opisuje wierzchołek paraboli o równaniu:

\(\displaystyle{ y= - x^{2} + 2(m+1)x - m + 5}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) to parametr

wyliczasz p i q i zapisujesz w postaci kanonicznej..

\(\displaystyle{ y= a(x-p)^{2}+q}\)

\(\displaystyle{ ..=-(x-m-1)^{2}+m-5}\)

Polecenie jest podane w sposób nieprecyzyjny - bo raczej nie chodzi tu o jeden wierzchołek, ale o zbiór wszystkich wierzchołków.

Współrzędne wierzchołka paraboli to \(\displaystyle{ \left( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} \right)}\). U nas zatem zbiór wierzchołków rodziny parabol to:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( m+1, -m^2-m-6 \right) \ : \ m \in \mathbb{R} \right\}}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ t=m +1}\), otrzymamy, że ten zbiór to:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( t, -t^2-3t-8 \right) \ : \ m \in \mathbb{R} \right\}}\)
czyli wykres funkcji \(\displaystyle{ y=-x^2-3x-8}\).

Q.