Matematyka.pl

Wykażemy, że dla \(\displaystyle{ x\neq y}\) zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ x^2+xy+y^2>0}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są różne od zera to wówczas wobec tożsamości \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2=(x-y)^2+3xy=(x+y)^2+(-xy)}\) liczbę \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2}\) możemy przedstawić jako sumę liczby nieujemnej i liczby dodatniej. Zatem \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2>0}\). Jeśli natomiast na przykład \(\displaystyle{ x=0}\), to wówczas \(\displaystyle{ y^2>0}\) jako kwadrat liczby różnej od zera.

Skąd tutaj wniosek, że jest to suma liczby nieujemnej i liczby dodatniej? Przecież można podać prosty kontrprzykład, że nie zawsze tak jest.

Bo, gdy \(\displaystyle{ xy>0}\) to nierówność jest bardzo oczywista. Więc jedyny ciekawy przypadek to ten kiedy \(\displaystyle{ xy<0}\). Wtedy jednak i tak \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2}\) można zapisać jako sumę liczb dodatnich.

41421356 pisze: ↑1 lut 2023, o 22:22Skąd tutaj wniosek, że jest to suma liczby nieujemnej i liczby dodatniej?

Liczba \(\displaystyle{ (x-y)^2}\) jest dodatnia, a liczba \(\displaystyle{ (x+y)^2}\) jest nieujemna. Ponadto liczby \(\displaystyle{ 3xy}\) i \(\displaystyle{ -xy}\) mają przeciwne znaki, więc jedna z nich jest dodatnia. Jeśli \(\displaystyle{ 3xy>0}\), to liczba \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2}\) jest sumą pewnych dwóch liczb dodatnich, a jeśli \(\displaystyle{ -xy>0,}\) to liczba \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2}\) jest sumą pewnej liczby nieujemnej i pewnej liczby dodatniej.

41421356 pisze: ↑1 lut 2023, o 22:22Przecież można podać prosty kontrprzykład, że nie zawsze tak jest.

Ale kontrprzykład niczego nie dowodzi, mylisz kwantyfikatory (o ile dobrze rozumiem, co masz na myśli pisząc o kontrprzykładzie). My pokazujemy, że istnieje rozkład liczby \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2}\) na sumę liczby dodatniej i liczby nieujemnej, bo to wystarcza do udowodnienia prawdziwości tezy. Oczywiście tę samą liczbę można rozłożyć inaczej, np. na sumę liczby dodatniej i ujemnej, tylko co z tego?

JK

Inna sprawa że dużo prostszym uzasadnieniem jest
\(\displaystyle{ x^2+xy+y^2=\frac{2x^2+2xy+2y^2}{2}=\frac{x^2+(x+y)^2+y^2}{2}}\)

Można też stronami pomnożyć przez \(\displaystyle{ (x-y)\sf{sgn}(x-y)}\) i od razu mamy \(\displaystyle{ (x^3-y^3)\sf{sgn}(x-y)>0}\).

Już zrozumiałem tok rozumowania. Dotarło do mnie, że wystarczy, aby taki rozkład istniał. a4karo dzięki za fajne, szybkie i eleganckie uzasadnienie.