Udowodnić, że parabola \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu.
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Wiem jak znaleźć równanie paraboli mając dany konkretny punkt i konkretną prostą, ale tak ogólnie to nie wiem jak to zrobić.
Udowodnić, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu
No ok, ale to chyba dostaję jedno równanie z dwoma niewiadomymi: Jeśli oznaczę współrzędne ogniska jako \(\displaystyle{ (O_x,O_y)}\), a równanie prostej jako \(\displaystyle{ y=k}\) to z przyrównania kwadratów odległości dostaję:
\(\displaystyle{ \left( O_y+\frac{\Delta}{4a}\right)^2=\left( -\frac{\Delta}{4a}-k\right)^2}\)
No i co dalej? Jak to \(\displaystyle{ O_y}\) wyznaczyć?
\(\displaystyle{ \left( O_y+\frac{\Delta}{4a}\right)^2=\left( -\frac{\Delta}{4a}-k\right)^2}\)
No i co dalej? Jak to \(\displaystyle{ O_y}\) wyznaczyć?
Ostatnio zmieniony 27 sie 2023, o 17:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Udowodnić, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu
Najpierw rozpatrujemy parabolę o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 }\) i określamy jej współrzędne ogniska \(\displaystyle{ F = (0, k) }\) i równanie kierownicy to jest prostej równoległej do osi \(\displaystyle{ Ox }\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (0, -k) }\) (załącznik):
\(\displaystyle{ F = (0, k)}\)
Podstawiamy współrzędne punktu na paraboli \(\displaystyle{ (k, k) }\) do jej równania:
\(\displaystyle{ k = ak^2, \ \ k = \frac{1}{4a}.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ F = \left( 0, \frac{1}{4a} \right), }\)
\(\displaystyle{ ( 0, -k) : }\)
\(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4a}.}\)
Parabola \(\displaystyle{ y = ax^2, \ \ a\neq 0 }\) ma ognisko \(\displaystyle{ F = \left(0, \frac{1}{4a} \right) }\) i kierownicę \(\displaystyle{ k }\) o równaniu \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4a}. }\)
Aby otrzymać współrzędne ogniska i równanie kierownicy paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 +bx + c }\) przesuwamy równolegle o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = \left[ -\frac{b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a} \right] }\) ognisko paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 }\) i jej kierownicę , otrzymując odpowiednio
\(\displaystyle{ F' = \left ( -\frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ y = - \frac{1 + \Delta}{4a}.}\)
\(\displaystyle{ F = (0, k)}\)
Podstawiamy współrzędne punktu na paraboli \(\displaystyle{ (k, k) }\) do jej równania:
\(\displaystyle{ k = ak^2, \ \ k = \frac{1}{4a}.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ F = \left( 0, \frac{1}{4a} \right), }\)
\(\displaystyle{ ( 0, -k) : }\)
\(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4a}.}\)
Parabola \(\displaystyle{ y = ax^2, \ \ a\neq 0 }\) ma ognisko \(\displaystyle{ F = \left(0, \frac{1}{4a} \right) }\) i kierownicę \(\displaystyle{ k }\) o równaniu \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4a}. }\)
Aby otrzymać współrzędne ogniska i równanie kierownicy paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 +bx + c }\) przesuwamy równolegle o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = \left[ -\frac{b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a} \right] }\) ognisko paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 }\) i jej kierownicę , otrzymując odpowiednio
\(\displaystyle{ F' = \left ( -\frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ y = - \frac{1 + \Delta}{4a}.}\)
- Załączniki
-
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Udowodnić, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu
Przecież punkt `(k,k)` nie może leżeć na paraboli, bo jego odległość od ogniska jest równa `k` a od kierownicy `2k`
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Udowodnić, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu
Masz rację.
Z określenia paraboli jako miejsca geometrycznego punktów:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-0)^2 + (y-k)^2} = |y - (-k)|, \ \ k>0 }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-0)^2 + (y-k)^2} = |y +k| }\)
\(\displaystyle{ x^2 + (y-k)^2 = (y+k)^2 }\)
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 -2ky +k^2 = y^2 +2ky +k^2 }\)
\(\displaystyle{ x^2 = 4ky }\)
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{4k}x^2 = ax^2,}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{1}{4k}, \ \ k = \frac{1}{4a}.}\)
Z określenia paraboli jako miejsca geometrycznego punktów:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-0)^2 + (y-k)^2} = |y - (-k)|, \ \ k>0 }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-0)^2 + (y-k)^2} = |y +k| }\)
\(\displaystyle{ x^2 + (y-k)^2 = (y+k)^2 }\)
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 -2ky +k^2 = y^2 +2ky +k^2 }\)
\(\displaystyle{ x^2 = 4ky }\)
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{4k}x^2 = ax^2,}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{1}{4k}, \ \ k = \frac{1}{4a}.}\)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Udowodnić, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu
A po co tyle w rachunków. Punkt `(2k,k)` leży na paraboli więc...
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu
Nie no, ale mamy parabolę \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\), no i jak z tego wyznaczyć to ognisko?
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Udowodnić, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu
Jak już masz kierownicę i ognisko dla `ax^2` to teraz wystarczy poprzesuwać
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu
No dobra to dla \(\displaystyle{ ax^2}\), to do tej paraboli będzie należał punkt \(\displaystyle{ (2k,k)}\). Jak to podstawimy to otrzymamy \(\displaystyle{ k=a \cdot 4k^2}\). I teraz \(\displaystyle{ k}\) chyba powinno być różne od zera (dlaczego?) zatem możemy uprościć przez \(\displaystyle{ k}\) i mamy, że \(\displaystyle{ k=\frac{1}{4a}}\). Czyli ognisko to \(\displaystyle{ (0,\frac{1}{4a})}\) i kierownica to \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{4a}}\). Dobrze?
No ok, to jak to teraz poprzesuwać, jak mamy parabolę \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\)?
No ok, to jak to teraz poprzesuwać, jak mamy parabolę \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\)?
-
AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Udowodnić, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu
Żebyś mógł przez nie podzielić obie strony.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Udowodnić, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od pewnej prostej i pewnego punktu
Korzystając z postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego widzimy, że badany zbiór punktów \(\displaystyle{ (x, y) }\) może być opisany równaniem
\(\displaystyle{ y = ax^2 +bx + c = a\left( x +\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}, }\) gdzie wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta = b^2 -4ac. }\)
Weźmy pod uwagę parabolę o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 }\) i przesunięcie równoległe o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = \left [- \frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} \right].}\)
Obrazem punktu \(\displaystyle{ P(x,y) }\) w przesunięciu równoległym o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} }\) jest taki punkt \(\displaystyle{ P'(x', y') }\), że
\(\displaystyle{ x' = x +\left(- \frac{b}{2a}\right), \ \ y' = y + \left( -\frac{\Delta}{4a}\right). }\)
Stąd
\(\displaystyle{ x = x' + \frac{b}{2a}, \ \ y = y' +\frac{\Delta}{4a}. }\)
Wobec tego obrazem paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 }\) w przesunięciu równoległym o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} }\) jest zbiór punktów opisany równaniem
\(\displaystyle{ y' + \frac{\Delta}{4a} = a\left(x' + \frac{b}{2a}\right)^2 .}\)
Po podstawieniu litery \(\displaystyle{ x }\) zamiast \(\displaystyle{ x' }\) oraz \(\displaystyle{ y }\) zamiast \(\displaystyle{ y' }\) równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ y + \frac{\Delta}{4a} = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2, }\)
a stąd
\(\displaystyle{ y = a\left( x +\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}, }\)
czyli
\(\displaystyle{ y = ax^2 +bx +c.}\)
Ponieważ przesunięcie równoległe o wektor jest izometrią, więc równanie \(\displaystyle{ y = ax^2 +bx + c, \ \ a\neq 0 }\) opisuje parabolę.
Parabola \(\displaystyle{ y = ax^2, \ \ a\neq 0 }\) ma ognisko \(\displaystyle{ F = \left(0, \frac{1}{4a} \right) }\) i kierownicę \(\displaystyle{ k }\) o równaniu \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4a}. }\)
Aby otrzymać współrzędne ogniska i równanie kierownicy paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 +bx + c }\) przesuwamy równolegle o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = \left[ -\frac{b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a} \right] }\) ognisko paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 }\) i jej kierownicę , otrzymując odpowiednio:
\(\displaystyle{ F' = \left ( -\frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ y = - \frac{1 + \Delta}{4a},}\) bo obrazem punktu \(\displaystyle{ F = \left( 0, \frac{1}{4a} \right),}\) jest punkt \(\displaystyle{ F' = \left (0 -\frac{b}{2a}, \frac{1}{4a} - \frac{\Delta}{4a}\right)= \left ( -\frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a} \right) }\),
zaś obrazem prostej o równaniu \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4a} }\) jest prosta \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4a}-\frac{\Delta}{4a} = -\frac{1+\Delta}{4a}.}\)
\(\displaystyle{ y = ax^2 +bx + c = a\left( x +\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}, }\) gdzie wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta = b^2 -4ac. }\)
Weźmy pod uwagę parabolę o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 }\) i przesunięcie równoległe o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = \left [- \frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} \right].}\)
Obrazem punktu \(\displaystyle{ P(x,y) }\) w przesunięciu równoległym o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} }\) jest taki punkt \(\displaystyle{ P'(x', y') }\), że
\(\displaystyle{ x' = x +\left(- \frac{b}{2a}\right), \ \ y' = y + \left( -\frac{\Delta}{4a}\right). }\)
Stąd
\(\displaystyle{ x = x' + \frac{b}{2a}, \ \ y = y' +\frac{\Delta}{4a}. }\)
Wobec tego obrazem paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 }\) w przesunięciu równoległym o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} }\) jest zbiór punktów opisany równaniem
\(\displaystyle{ y' + \frac{\Delta}{4a} = a\left(x' + \frac{b}{2a}\right)^2 .}\)
Po podstawieniu litery \(\displaystyle{ x }\) zamiast \(\displaystyle{ x' }\) oraz \(\displaystyle{ y }\) zamiast \(\displaystyle{ y' }\) równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ y + \frac{\Delta}{4a} = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2, }\)
a stąd
\(\displaystyle{ y = a\left( x +\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}, }\)
czyli
\(\displaystyle{ y = ax^2 +bx +c.}\)
Ponieważ przesunięcie równoległe o wektor jest izometrią, więc równanie \(\displaystyle{ y = ax^2 +bx + c, \ \ a\neq 0 }\) opisuje parabolę.
Parabola \(\displaystyle{ y = ax^2, \ \ a\neq 0 }\) ma ognisko \(\displaystyle{ F = \left(0, \frac{1}{4a} \right) }\) i kierownicę \(\displaystyle{ k }\) o równaniu \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4a}. }\)
Aby otrzymać współrzędne ogniska i równanie kierownicy paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 +bx + c }\) przesuwamy równolegle o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = \left[ -\frac{b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a} \right] }\) ognisko paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 }\) i jej kierownicę , otrzymując odpowiednio:
\(\displaystyle{ F' = \left ( -\frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ y = - \frac{1 + \Delta}{4a},}\) bo obrazem punktu \(\displaystyle{ F = \left( 0, \frac{1}{4a} \right),}\) jest punkt \(\displaystyle{ F' = \left (0 -\frac{b}{2a}, \frac{1}{4a} - \frac{\Delta}{4a}\right)= \left ( -\frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a} \right) }\),
zaś obrazem prostej o równaniu \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4a} }\) jest prosta \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4a}-\frac{\Delta}{4a} = -\frac{1+\Delta}{4a}.}\)