Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: inusia146 »

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ p, \ p \in \mathbb{R}}\), dla których równanie \(\displaystyle{ |(x-2)(x-4)|=4p-3}\) ma dwa rozwiązania dodatnie.

Wiem, że najlepiej jest to rozwiązać graficznie, ale chciałabym też algebraicznie i coś mi w tym rozwiązaniu algebraicznym nie wychodzi.
Rozbijam na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ I. \begin{cases} x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)\\ (x-2)(x-4)=4p-3 \end{cases} \vee II.\begin{cases} x \in (2,4)\\ (x-2)(x-4)=-4p+3 \end{cases}
}\)

Założenia do przypadku I:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1x_2>0 \\ x_1, x_2 \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty) \end{cases} }\)
Ostatni warunek przekształcam do: \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1-2+x_2-2 \le 0 \\ (x_1-2)(x_2-2) \ge 0 \end{cases} \vee \begin{cases} x_1-4+x_2-4 \ge 0 \\ (x_1-2)(x_2-2) \ge 0 \end{cases} }\).

Analogiczne założenia do przypadku II, ale z wykresu wynika, że te dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)}\), więc drugi przypadek powinien wyjść sprzeczny. Tymczasem mnie wychodzi sprzeczność w I. Nie wiem, czy to tylko ewentualne błędy rachunkowe, czy już na wstępie jest coś nie tak... Bardzo proszę o pomoc.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: Jan Kraszewski »

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 15:29Rozbijam na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ I. \begin{cases} x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)\\ (x-2)(x-4)=4p-3 \end{cases} \vee II.\begin{cases} x \in (2,4)\\ (x-2)(x-4)=-4p+3 \end{cases}
}\)
A jaki miałby być związek tych przypadków z rozwiązaniem?
inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 15:29z wykresu wynika, że te dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)}\),
To nieprawda, chyba zrobiłaś zły wykres. Poza tym pamiętaj, że w zadaniu jest pytanie o \(\displaystyle{ p}\), nie o \(\displaystyle{ x}\).

JK
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: inusia146 »

Jan Kraszewski pisze: 28 sty 2023, o 16:37
inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 15:29Rozbijam na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ I. \begin{cases} x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)\\ (x-2)(x-4)=4p-3 \end{cases} \vee II.\begin{cases} x \in (2,4)\\ (x-2)(x-4)=-4p+3 \end{cases}
}\)
A jaki miałby być związek tych przypadków z rozwiązaniem?
Chcę się najpierw pozbyć wartości bezwzględnej, a później uwzględniam, że mają być dwa rozwiązania dodatnie. Jeśli ten sposób jest zły, to bardzo proszę o wyjaśnienie dlaczego i jak to zrobić inaczej?
Jan Kraszewski pisze: 28 sty 2023, o 16:37
inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 15:29z wykresu wynika, że te dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)}\),
To nieprawda, chyba zrobiłaś zły wykres. Poza tym pamiętaj, że w zadaniu jest pytanie o \(\displaystyle{ p}\), nie o \(\displaystyle{ x}\).
To był skrót myślowy, dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (0,2] \cup [4, 6)}\), czyli dla \(\displaystyle{ p \in \left\{ \frac{3}{4}\right\} \cup \left(1,2\frac{3}{4} \right)}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: a4karo »

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 15:29 Wyznacz wszystkie wartości parametru...
Liczenie delty w poszczególnych przypadkach dużo Ci nie da. Jeżeli już chcesz robić to analitycznie, to przeanalizuj zachowanie funkcji `|(x-2)(x-4)|`. Sprawdź gdzie maleje, gdzie rośnie i jakie wartości przybiera.
Wyposażona w te informacje będziesz w stanie odpowiedzieć na pytanie postawione w zadaniu.

I pamiętaj: delta nie jest lekarstwem na wszystkie bolączki świata.
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: inusia146 »

a4karo pisze: 28 sty 2023, o 16:53 Liczenie delty w poszczególnych przypadkach dużo Ci nie da.
Właśnie chciałabym się dowiedzieć, dlaczego to nie działa?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: Jan Kraszewski »

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 16:48Chcę się najpierw pozbyć wartości bezwzględnej, a później uwzględniam, że mają być dwa rozwiązania dodatnie. Jeśli ten sposób jest zły, to bardzo proszę o wyjaśnienie dlaczego i jak to zrobić inaczej?
Ale przecież dla tego samego \(\displaystyle{ p}\) możesz mieć rozwiązania w obu przypadkach. Jak chcesz upewnić się, że dla ustalonego \(\displaystyle{ p}\) będą dokładnie dwa rozwiązania dodatnie?
inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 16:48dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (0,2] \cup [4, 6)}\),
To stwierdzenie nie ma sensu.
inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 16:48 czyli dla \(\displaystyle{ p \in \left\{ \frac{3}{4}\right\} \cup \left(1,2\frac{3}{4} \right)}\).
A to jest prawda.

JK
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: inusia146 »

Jan Kraszewski pisze: 28 sty 2023, o 17:01 Ale przecież dla tego samego \(\displaystyle{ p}\) możesz mieć rozwiązania w obu przypadkach. Jak chcesz upewnić się, że dla ustalonego \(\displaystyle{ p}\) będą dokładnie dwa rozwiązania dodatnie?
Rozwiązując warunki \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1x_2>0 \\ x_1,x_2 \in (-\infty, 2] \cup [4, +\infty) \end{cases}}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: a4karo »

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 17:00
a4karo pisze: 28 sty 2023, o 16:53 Liczenie delty w poszczególnych przypadkach dużo Ci nie da.
Właśnie chciałabym się dowiedzieć, dlaczego to nie działa?
Bo, bardzo z grubsza mówiąc, delta służy do badania ilości rozwiązań równania kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych, a wyrażenie, które badasz nie jest równaniem kwadratowym.
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: inusia146 »

To wyjściowe nie, ale po pozbyciu się wartości bezwzględnej już jest, prawda? Przepraszam, ale nadal nie rozumiem...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: a4karo »

No nie. Masz funkcję, które jest trójmianem kwadratowym, ale tylko na pewnym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych. I inną funkcję na innym podzbiorze. Każda z tych funkcji ma inną deltę i żadna z nich nie daje Ci informacji czy potencjalne pierwiastki leżą w obszarach, które Cię interesują.
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: inusia146 »

To już rozumiem. Ale w takim razie dlaczego dorzucenie warunków, że pierwiastki mają być dwa z danego obszaru i oba dodatnie nadal nie daje poprawnego rozwiązania?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: Dasio11 »

Rozwiązaniem wyjściowego równania będzie każde rozwiązanie pierwszego układu warunków, jak i każde rozwiązanie drugiego. Łącznie tych rozwiązań mają być dwie sztuki i mają być dodatnie. Jak chcesz to odczytać sprawdzając jedynie, kiedy te układy traktowane z osobna mają dwa dodatnie pierwiastki?

Innymi słowy: nawet jeśli wyznaczysz zbiór \(\displaystyle{ A}\) złożony z wartości \(\displaystyle{ p}\), dla których pierwszy układ ma dwa dodatnie rozwiązania, oraz analogiczny zbiór \(\displaystyle{ B}\) dla drugiego układu, to z tych zbiorów nie da się wyznaczyć zbioru takich \(\displaystyle{ p}\) dla których oba układy w sumie mają dwa dodatnie rozwiązania - a to o ten ostatni zbiór Cię pytają.
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

Post autor: inusia146 »

@Dasio11 bardzo dziękuję, teraz już rozumiem.
ODPOWIEDZ