Matematyka.pl

X jest zbiorem całkowitych wartości parametru m, dla których równanie \(\displaystyle{ \left| -x ^{2} + 2\left| x\right| + 5 \right|= m}\) ma cztery rozwiązania. Oblicz sumę sześcianów liczb należących do zbioru X. Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Moglibyście pomóc rozpatrzeć te przypadki ?

NO to próbuj, a my pomożemy

Coś takiego ?

\(\displaystyle{ -x ^{2} + 2x + 5 = m}\)
\(\displaystyle{ -x^{2} -2x + 5 = m}\)

???
skad to sie wzielo?

Mówię, że nie potrafię zrobić. Mógłbyś pomóc ?

Załóż sobie najpierw, że \(\displaystyle{ x\geq 0}\). Jak wtedy wygląda równanie?

\(\displaystyle{ \left| -x ^{2} +2x + 5 \right| = m}\) ?

OK. Spróbuj teraz narysowac wykres lewej strony

Nie potrafię tu wrzucać wykresu.

Trochę się wcinam, ale może się przyda - wg mnie to najlepiej od razu próbować rysować (bez rozważania przypadków)

Po lewej stronie masz funkcję (załóżmy \(\displaystyle{ g(x)}\)) która powstała poprzez pewne przekształcenia wystarczy odgadnąć co to są za przekształcenia i ją narysować, a potem już jest sprawa prosta.

\(\displaystyle{ g(x)=\left| -x^2+2|x|+5\right|}\)

Widać że to się wzięło z \(\displaystyle{ y_1=-x^2+2x+5}\). Skąd wzięło się \(\displaystyle{ -x^2+2x+5}\) ? sprowadzamy to do postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ y_1=-x^2+2x+5=-(x^2-2x-5)=-\left[ \underbrace{(x-1)^2}_{x^2-2x+1}-6\right]=-(x-1)^2+6}\)

Funkcja \(\displaystyle{ y_1}\) powstała poprzez przesunięcie wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=-x^2}\) o wektor \(\displaystyle{ \left[ 1;6\right]}\), potem wymazano to co na lewo od osi \(\displaystyle{ y}\) a pozostałą (prawą) część wykresu odbito symetrycznie względem osi \(\displaystyle{ y}\). Uzyskano w ten sposób (już dla uproszczenia zapisałem w postaci ogólnej bo można było i w kanonicznej, w każdym razie to jest to samo) \(\displaystyle{ y_2=-|x|^2+2|x|+5}\) a ponieważ \(\displaystyle{ |x|^2=x^2}\), to \(\displaystyle{ y_2=-x^2+2|x|+5}\).
Na koniec tą część wykresu \(\displaystyle{ y_2}\) leżącą pod osią iksów odbito nad tę oś i otrzymano w ten sposób wykres funkcji \(\displaystyle{ g(x)=\left| -x^2+2|x|+5\right|}\).
Otrzymany wykres przecinasz poziomymi liniami \(\displaystyle{ y=m}\) (np. dla \(\displaystyle{ m=0}\) jest to prosta \(\displaystyle{ y=0}\), dla \(\displaystyle{ m=2}\) to prosta \(\displaystyle{ y=2}\) itd.). Parametr \(\displaystyle{ m}\) ma być taki, aby pozioma linia miała dokładnie cztery punkty wspólne z wykresem \(\displaystyle{ g(x)}\) (bo cztery rozwiązania mają być) - znajdujesz wszystkie takie całkowite wartości \(\displaystyle{ m}\), liczysz sześciany tych liczb sumujesz i masz wynik (ja nie liczyłem także nie wiem ile ma wyjść)

Dziękuję za wytłumaczenie <3

Przepraszam za odkop, ale akurat robię ten zbiór i mam to zadanie więc po co powielać wątki?
Czy w przypadku takich bezwzględnych, pokręconych równań, i to jeszcze z m, opłaca się w ogóle je wyliczać? Są jakieś szybkie sposoby, ułatwienia dla liczenia czy najlepiej od razu zabrac się za rysowanie?

Jeśli chodzi o maturę i jakiś samotny parametr, a nawet z towarzystwem (np. \(\displaystyle{ m^{2} - 4}\)) po prawej stronie równania, gdzie po lewej mamy jakieś wyrażenie z iksem, które możemy narysować, to ja zawsze od razu rysuję, a liczę dopiero, jak rysunek budzi wątpliwości. Ale w 90% przypadków rysunek wystarcza