Matematyka.pl

Uczę się rozwiązywania układów równań z dwiema niewiadomymi. Jako przykład wziąłem taki układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + y = 5 \\ x \cdot y = 6 \end{cases} }\)

Najpierw przekształciłem pierwsze równanie, wyciągając \(\displaystyle{ x}\) na lewą stronę:

\(\displaystyle{ x + y = 5 \mid -y\\
x = y - 5
}\)

Potem podstawiłem do drugiego równania:

\(\displaystyle{ x \cdot y = 6\\
(y - 5) \cdot y = 6}\)

I kompletnie nie wiem jak to teraz dalej przekształcić i rozwiązać. Cokolwiek próbowałem to nic nie dawało, wracałem do punktu wyjścia. Jednocześnie wiem, że układ na pewno ma rozwiązanie poprzez podstawienie \(\displaystyle{ x = 2}\) i \(\displaystyle{ y = 3}\). Zależy mi jednak na rozwiązaniu w pełni algebraicznym.

Jan_M pisze: ↑17 gru 2022, o 09:53I kompletnie nie wiem jak to teraz dalej przekształcić i rozwiązać.

Bo za młody jesteś...

Otrzymałeś równanie kwadratowe, a w szkole uczą takie rozwiązywać później. A jak chcesz sam, to możesz zerknąć np. tutaj: kompendium-funkcji-f144/rownanie-kwadra ... 35861.html.

JK

Jan_M pisze: ↑17 gru 2022, o 09:53 Uczę się rozwiązywania układów równań z dwiema niewiadomymi. Jako przykład wziąłem taki układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + y = 5 \\ x \cdot y = 6 \end{cases} }\)

Najpierw przekształciłem pierwsze równanie, wyciągając \(\displaystyle{ x}\) na lewą stronę:

\(\displaystyle{ x + y = 5 \mid -y\\
x = y - 5
}\)

Czyżby?

A, pomyliłem się w przekształceniu. Zamiast
\(\displaystyle{ x = y - 5}\)
Powinno być:
\(\displaystyle{ x = 5 - y}\)
I zresztą wychodzi z tego podobne równanie tylko że inny znak:
\(\displaystyle{ 5y - y^2 = 6}\)

Jan Kraszewski pisze: ↑17 gru 2022, o 10:56Otrzymałeś równanie kwadratowe, a w szkole uczą takie rozwiązywać później. A jak chcesz sam, to możesz zerknąć np. tutaj: kompendium-funkcji-f144/rownanie-kwadra ... 35861.html.

JK

Trzeba zatem rozwiązać to zadanie korzystając jedynie z dostępnych nam metod, czyli w tym wypadku bez używania wzorów, których pytający nie zna, a nie iść tylko na łatwiznę odsyłając pytającego do gotowych wzorów. Trzeba wyjść poza schematy.


Wczoraj rozwiązałem ten układ równań, przy pomocy pojęcia pola prostokąta. Oto:

CIEKAWE ROZWIĄZANIE TEGO ZADANIA:

Za \(\displaystyle{ 5}\) podstawiamy \(\displaystyle{ x+y}\), a za \(\displaystyle{ 6=5+1}\) podstawiamy \(\displaystyle{ x \cdot y}\), i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x \cdot y= x+y+1; \ \ }\) (*):

Ponieważ \(\displaystyle{ x \cdot y= 6 \neq 0}\), więc \(\displaystyle{ x \neq 0}\) i \(\displaystyle{ y \neq 0}\).

Nie może być \(\displaystyle{ x<0}\), bo wtedy, ponieważ mamy \(\displaystyle{ x+y=5}\), więc \(\displaystyle{ y>5}\), a zatem \(\displaystyle{ 6=x \cdot y<0}\), czyli \(\displaystyle{ 6<0}\)- sprzeczność.
A zatem musi być \(\displaystyle{ x>0}\).

Z podobnych przyczyn musi być \(\displaystyle{ y>0.}\)

Musi być \(\displaystyle{ x>1}\), bo gdyby było \(\displaystyle{ x \le 1}\), to \(\displaystyle{ 6x \le 6}\), a zatem ponieważ \(\displaystyle{ x>0}\), więc \(\displaystyle{ y= \frac{6}{x} \ge 6}\), a ponieważ \(\displaystyle{ x+y=5}\), więc \(\displaystyle{ x \le -1}\), a \(\displaystyle{ x>0}\)- sprzeczność.

Jeśli \(\displaystyle{ y \le 1}\), to podobnie \(\displaystyle{ x \ge 6}\), a zatem \(\displaystyle{ y \le -1}\), a mamy \(\displaystyle{ y>0}\)- sprzeczność.

Wobec czego \(\displaystyle{ x>1}\), i \(\displaystyle{ y>1.}\)

Wobec czego w prostokącie o wymnarach \(\displaystyle{ x \times y}\), możemy zmieścić taki pas poziomy o wysokości \(\displaystyle{ 1}\) i możemy w nim zmieścić pas pionowy o szerokości \(\displaystyle{ 1}\), oto ilustracja tego faktu:\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x \cdot y= x+y+1}\), więc pole zaciemnionego obszaru wynosi dokładnie \(\displaystyle{ 6- x \cdot 1- y \cdot 1+1=2.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x,y}\) są liczbami całkowitymi, to mamy tylko dwie możliwości:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3,\\ y=2; \end{cases}}\) lub

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3,\\ x=2;\end{cases} }\)

gdyż wtedy taki prostokąt można podzielić na sieć kwadratów o boku \(\displaystyle{ 1}\), a ponieważ jedyne możliwe rozkłady na czynniki liczby \(\displaystyle{ 2}\) (na dwa czynniki), to \(\displaystyle{ 2=2 \cdot 1}\) i \(\displaystyle{ 2= 1 \cdot 2}\), stąd są tylko dwie możliwości: \(\displaystyle{ (x= 2+1\hbox{ i } y=1+1 )}\) lub \(\displaystyle{ (x= 1+1 \hbox{ i } y= 2+1).}\)


Zauważmy, że jeśli para \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) spełnia ten układ równań, to spełnia ją również para \(\displaystyle{ \left( y,x\right) }\), czyli para powstała po zamianie miejscami współrzędnych pary wejściowej. Wynika to łatwo z przemienności dodawania oraz z przemienności mnożenia.

Jeśli \(\displaystyle{ x}\) nie jest liczbą całkowitą, tzn. część ułamkowa liczby \(\displaystyle{ x}\) jest równa pewnej liczbie \(\displaystyle{ a \in \left( 0,1\right).}\) Wtedy, ponieważ \(\displaystyle{ x+y}\) jest liczbą całkowitą równą \(\displaystyle{ 5}\), więc część ułamkowa liczby \(\displaystyle{ y}\) musi być równa \(\displaystyle{ \left( 1-a\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( 1-a\right) \in \left( 0,1\right). }\)

Rozważmy najpierw sytuację, gdy część całkowita liczby \(\displaystyle{ x}\) wynosi co najmniej dwa.

Jeśli ta część całkowita jest równa \(\displaystyle{ 2}\), to \(\displaystyle{ x<3}\):

Mamy \(\displaystyle{ y>1}\), więc jeśli część całkowita liczby \(\displaystyle{ y}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ y<2}\), a zatem \(\displaystyle{ 6=x \cdot y<2x < 2 \cdot 3= 6}\), czyli \(\displaystyle{ 6<6}\)- sprzeczność.

A jeśli część całkowita liczby \(\displaystyle{ y}\) jest równa \(\displaystyle{ 2}\), wtedy ponieważ pole całego prostokąta wynosi \(\displaystyle{ 6}\), a \(\displaystyle{ (a \cdot 1) \cdot 2 + \left( 1-a\right) \cdot 1 \cdot 2=2 =6-4}\), więc pole obszaru zaznaczonego na poniższej ilustracji, tu pod pytajnikiem :
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\)

musi być równe \(\displaystyle{ 0}\), a ponieważ \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ 1-a>0}\), więc jest to niemożliwe.

Część całkowita liczby \(\displaystyle{ y}\) nie może być większa lub równa od \(\displaystyle{ 3}\), gdyż wtedy pole całego prostokąta byłoby silnie większe od \(\displaystyle{ 6}\)- sprzeczność.

Zauważmy, że jedna z liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) musi być większa od \(\displaystyle{ 2}\), gdyż gdyby obie liczby byłyby mniejsze lub równe \(\displaystyle{ 2}\), to ich suma byłaby mniejsza lub równa od \(\displaystyle{ 4}\), a ta suma wynosi \(\displaystyle{ 5}\)-sprzeczność.

Ponieważ już rozważyliśmy sytuację gdy część całkowita liczby \(\displaystyle{ x}\) jest równa \(\displaystyle{ 2}\), to nie musimy rozważać przypadku gdy część całkowita liczby \(\displaystyle{ y}\) jest równa \(\displaystyle{ 2}\), gdyż gdybyśmy w takim przypadku otrzymali rozwiązanie układu- pewną parę \(\displaystyle{ (x,y}\)) , to wiemy, że również para \(\displaystyle{ \left( y,x\right)}\) byłaby rozwiązaniem, a wtedy część całkowita pierwszej współrzędnej pary byłaby równa \(\displaystyle{ 2}\), i para \(\displaystyle{ \left( y,x\right)}\) byłaby rozwiązaniem, a zbadaliśmy już takie przypadki, w których nie znaleźliśmy rozwiązań- a tu mamy rozwiązanie: parę \(\displaystyle{ \left( y,x\right) }\)- sprzeczność.

Rozważmy teraz sytuację, gdy część całkowita liczby \(\displaystyle{ x}\) jest równa \(\displaystyle{ 3}\). Wtedy pole zaciemnionego obszaru na ilustracji:
\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
wynosi \(\displaystyle{ 2}\), a zatem:

\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( 1-a\right) + a \cdot \left( 1-a\right) =2}\),

skąd \(\displaystyle{ -2a + a \cdot \left( 1-a\right) =0}\), skąd \(\displaystyle{ a \cdot \left( 1-2-a\right)=0 }\), a zatem \(\displaystyle{ a=0}\) lub \(\displaystyle{ a=-1.}\)

Ponieważ mamy \(\displaystyle{ a \in \left( 0,1\right)}\), to obydwa przypadki są niemożliwe.

Jeśli część całkowita liczby \(\displaystyle{ y}\) jest równa \(\displaystyle{ 3}\), to rozumujemy analogicznie jak powyżej.

(Zauważmy, zapomniałem dodać, że mamy pewną symetrię: jeśli część ułamkowa liczby \(\displaystyle{ x}\) jest równa \(\displaystyle{ a}\), wtedy część ułamkowa liczby \(\displaystyle{ y}\) jest równa \(\displaystyle{ \left( 1-a\right)}\), i wtedy \(\displaystyle{ \left( 1-a\right) \in\left( 0,1\right),}\) i dla pary części ułamkowych \(\displaystyle{ \left( 1-a, a\right) }\), mamy: \(\displaystyle{ 1- \left( 1-a\right) = a}\), a więc mamy tu pewną symetrię tych części ułamkowych).

I nie może część całkowita liczby \(\displaystyle{ x}\) być równa cztery, gdyż wtedy polowa obwodu tego prostokąta miałaby długość równą:

\(\displaystyle{ (4+\left( 1-a\right) )+ (1+a)=6 \neq 5= x+y.}\)

I, w podobny sposób:

Nie może część całkowita liczby \(\displaystyle{ y}\) być równa cztery- w sposób podobny jak powyżej możemy wykluczyć taki przypadek.

Wobec czego jedynymi rozwiązaniami naszego układu równań są:

\(\displaystyle{ \left( 2,3\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 3,2.\right).\square}\)

Lubię rozumować.

(Nawiasem mówiąc: Mnożenie dwóch liczb rzeczywistych nie jest wcale takie proste, wykres powierzchni w \(\displaystyle{ \RR^3}\), wykres powierzchni \(\displaystyle{ z=x \cdot y}\), czyli wykres funkcji opisującej wartości mnożenia dwóch liczb rzeczywistych, jest trochę nietypowy, w tą sobotę trochę dumałem nad nim).

Nawet nie wiedziałem, że zadanie to jest tak pracochłonne, obawiam się, że po takiej potężnej dawce spadnie morale wśród maturzystów...
Zmniejszy się zdawalność...

Jeśli chcemy obliczyć deltę nie na nazywając tego deltą, to możemy pierwsze równanie podnieść do kwadratu:
\(\displaystyle{ x^2+2xy+y^2=25}\),
a następnie odjąć \(4\) razy drugie równanie:
\(\displaystyle{ x^2-2xy+y^2=1}\).
W przypadku \(x\ge y\) dostajemy \(x-y=1\), co w połączeniu z równaniem \(x+y=5\) prowadzi do rozwiązania \(x=3, y=2\). W przeciwnym przypadku musimy dostać symetryczne rozwiązanie \(x=2, y=3\).