Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
Dla jakich liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ich iloczyn \(\displaystyle{ xy}\) przyjmuje wartość największą, jeżeli równanie to \(\displaystyle{ 2x+3y=6}\)
No i ja nie wiem, co ja źle robię, bo mi wychodzi \(\displaystyle{ x=3}\) i \(\displaystyle{ y=0}\) a ma być \(\displaystyle{ x=1,5}\) i \(\displaystyle{ y=1}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{6-2x}{3} \\
xy= \frac{x(6-2x)}{3}=2x- \frac{2}{3}x^{2} \\
x_{w}=p= -\frac{b}{2a}= \frac{-4}{- \frac{4}{3} } =3}\)
i po podstawieniu do wzoru \(\displaystyle{ y=0}\).
No i ja nie wiem, co ja źle robię, bo mi wychodzi \(\displaystyle{ x=3}\) i \(\displaystyle{ y=0}\) a ma być \(\displaystyle{ x=1,5}\) i \(\displaystyle{ y=1}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{6-2x}{3} \\
xy= \frac{x(6-2x)}{3}=2x- \frac{2}{3}x^{2} \\
x_{w}=p= -\frac{b}{2a}= \frac{-4}{- \frac{4}{3} } =3}\)
i po podstawieniu do wzoru \(\displaystyle{ y=0}\).
Ostatnio zmieniony 21 sie 2019, o 16:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
Eee no w sumie racja, a poza tym jest dobrze?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
Inaczej:
\(\displaystyle{ 24xy\le (2x+3y)^2=36}\), ponieważ \(\displaystyle{ 4ab\le (a+b)^2 \Leftrightarrow (a-b)^2\ge 0}\) z równością dla \(\displaystyle{ a=b}\) (tu bierzemy \(\displaystyle{ a:=2x, \ b:=3y}\)), więc \(\displaystyle{ xy\le \frac 3 2}\) z równością dla \(\displaystyle{ x=\frac 3 2, \ y=1}\).
\(\displaystyle{ 24xy\le (2x+3y)^2=36}\), ponieważ \(\displaystyle{ 4ab\le (a+b)^2 \Leftrightarrow (a-b)^2\ge 0}\) z równością dla \(\displaystyle{ a=b}\) (tu bierzemy \(\displaystyle{ a:=2x, \ b:=3y}\)), więc \(\displaystyle{ xy\le \frac 3 2}\) z równością dla \(\displaystyle{ x=\frac 3 2, \ y=1}\).
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
A skąd wziąłeś \(\displaystyle{ 24xy}\)? bo to \(\displaystyle{ (2x+3y)^{2}}\) to domyślam się, że podniesienie stron do kwadratu, ale skąd te \(\displaystyle{ 4ab}\) i inne rzeczy to ja nie wiem.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
Wiadomo, że \(\displaystyle{ (2x-3y)^2\geq 0}\). Równoważnie \(\displaystyle{ 4x^2+9y^2 \geq 12 xy}\). A jeszcze równoważnie \(\displaystyle{ 4x^2+12xy+9y^2 \geq 24 xy}\), czyli \(\displaystyle{ (2x+3y)^2 \geq 24xy}\).
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
Ale po co robić to na \(\displaystyle{ 24xy}\) jak można zrobić normalnie?
Ostatnio zmieniony 21 sie 2019, o 23:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
Matematyka to nie gra, matematyka to zło i dlatego ją lubię.
Chcesz mi powiedzieć, że zrobiłeś dziwne przekształcenia, żeby było ciekawiej?
EDIT: jak żeby było ciekawiej to rozumiem. Ale jeżeli to wynika z jakichś zasad to nie rozumiem. Tak to już jest.
Chcesz mi powiedzieć, że zrobiłeś dziwne przekształcenia, żeby było ciekawiej?
EDIT: jak żeby było ciekawiej to rozumiem. Ale jeżeli to wynika z jakichś zasad to nie rozumiem. Tak to już jest.
Ostatnio zmieniony 21 sie 2019, o 21:46 przez Niepokonana, łącznie zmieniany 1 raz.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
Można jeszcze dla rozrywki zrobić z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną. Wprawdzie zachodzi ona dla liczb nieujemnych, ale można łatwo uzasadnić, że maksimum osiągane jest dla nieujemnych argumentów
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
A jakby to wyglądało?
Muszę częściej przychodzić tu z drobnymi błędami rachunkowymi. XD
Muszę częściej przychodzić tu z drobnymi błędami rachunkowymi. XD
-
- Administrator
- Posty: 34447
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
Re: Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
Rozwiązanie Premislava jest po prostu ładniejsze, a nie takie "pałkarskie" jak Twoje . Oczywiście kwestie estetyczne nie mają wpływu na poprawność.Niepokonana pisze:Chcesz mi powiedzieć, że zrobiłeś dziwne przekształcenia, żeby było ciekawiej?
JK
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Funkcja kwadratowa zastosowania wartości najmn. i najw.
Zauważmy, że maksimum będziemy szukać w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{\left(x,y\right): x,y\geq 0 \wedge 2x+3y=6\right\}}\). Skoro \(\displaystyle{ 2x+3y=6}\) to oczywiste, że obydwie liczby \(\displaystyle{ x,y}\) nie mogą być ujemne. Maksimum nie będzie także osiągane dla takich par \(\displaystyle{ x,y}\), gdzie dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ x,y}\) jest ujemna (taki iloczyn byłby wtedy ujemny, a łatwo podać przykład takiej pary, dla której wyjdzie nieujemny, zatem żadnej wartości największej tu nie ma).Niepokonana pisze:A jakby to wyglądało?
Całe to rozważanie przypadków było dlatego, że nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną zachodzi dla liczb nieujemnych. Teraz na mocy tej nierówności otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{2x+3y}{2}\geq \sqrt{6xy}}\), co podstawiając \(\displaystyle{ 2x+3y=6}\) oraz podnosząc obustronnie do kwadratu, przekształcimy równoważnie do postaci \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\geq xy}\). Równość w nierówności między średnimi zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy równe są argumenty, a więc gdy \(\displaystyle{ 2x=3y}\). Zatem \(\displaystyle{ 2x+3y=2x+2x=6}\), skąd \(\displaystyle{ x=\frac{3}{2}}\). Teraz łatwo obliczamy, że \(\displaystyle{ y=1}\).