Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f(m)}\) będzie równe sumie dwóch różnych pierwiastków równania:

\(\displaystyle{ \frac{1}{m}x^{2}+(m+1)x+\frac{m}{64}=0}\)

A) Podaj dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f}\).
B) Dla jakich wartości parametru m suma pierwiastków równania jest największa?
C) Wyznacz pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\), których suma jest największa.

Z góry dzięki

a) najpierw zakładamy, że \(\displaystyle{ m \neq 0}\)
teraz sprawdzamy kiedy podana funkcja ma 2 różne miejsca zerowe, czyli kiedy \(\displaystyle{ \Delta >0}\)
\(\displaystyle{ \Delta >0 \Leftrightarrow (m+1)^{2}-4( \frac{1}{m})( \frac{m}{64})>0}\)
czyli \(\displaystyle{ m^{2}+2m+ \frac{15}{16}>0}\)
stąd mamy, że \(\displaystyle{ m- \frac{3}{4}}\)i \(\displaystyle{ m 0}\) i to jest dziedzina funkcji f
b) ze wzorów Vieta wiemy, że \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=- \frac{b}{a}}\)
zatem \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=-m ^{2}-m}\)
i teraz musimy policzyć dla jakiego m ta funkcja przyjmuje największą wartość czyli \(\displaystyle{ m=- \frac{b}{2a}= -\frac{1}{2}}\)
c) wiemy, że suma jest największa dla \(\displaystyle{ m= - \frac{1}{2}}\)
więc podstawiamy tą wartość do początkowego równania i obliczamy jego pierwiastki:
równanie przyjmuje więc postać:
\(\displaystyle{ -2x ^{2}+ \frac{1}{2}x- \frac{1}{128}=0}\)
i teraz: \(\displaystyle{ \Delta = \frac{3}{16}}\)
zatem \(\displaystyle{ x_{1}= \frac{2+ \sqrt{3} }{16}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}= \frac{2- \sqrt{3} }{16}}\)

Wielkie dzięki "Pomogła" dla Ciebie.