dwa trójmiany

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

dwa trójmiany

Post autor: a4karo »

Trójmiany kwadratowe `x^2+ax+b` i `x^2+cx+d` maja jeden wspólny pierwiastek. Wyznaczyć trójmian, którego pierwiastkami są pozostałe dwa pierwiastki trójmianów.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: dwa trójmiany

Post autor: mol_ksiazkowy »

Przykład
dla \(\displaystyle{ x^2+6x+9 \ , \ x^2+x-6}\) to \(\displaystyle{ (x+3)(x-2)}\)

ogólnie
\(\displaystyle{ \frac{(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}{(x - \frac{d-b}{a-c} )^2} }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: dwa trójmiany

Post autor: a4karo »

To tak do końca nie wygląda jak trójmian
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: dwa trójmiany

Post autor: Premislav »

Niech \(\displaystyle{ x_0}\) będzie tym wspólnym p[pierwiastkiem. Wiemy, że dla pewnych \(\displaystyle{ p,q\in \RR}\) jest \(\displaystyle{ x^2+ax+b=(x-x_0)(x+p), \ x^2+cx+d=(x-x_0)(x+q)}\). Otrzymujemy zatem przez proste porównanie współczynników
\(\displaystyle{ p-x_0=a, \ -x_0p=b, \ q-x_0=c, \ -x_0q=d}\). Odejmując stronami trzecią równość od drugiej, dostajemy \(\displaystyle{ p-q=a-c \ (\heartsuit)}\), zaś dzieląc stronami* drugą równość przez czwartą, otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{p}{q}=\frac{b}{d}}\). Zatem
\(\displaystyle{ p=q\cdot \frac{b}{d}}\), a wstawiwszy to do \(\displaystyle{ (\heartsuit)}\), mamy \(\displaystyle{ q\left(\frac{b}{d}-1\right)=a-c}\) i przeważnie** stąd dostaniemy \(\displaystyle{ q=\frac{a-c}{1-\frac{b}{d}}}\), a po podstawieniu \(\displaystyle{ p=\frac{b(a-c)}{d-b}}\) i trójmian jest w postaci
\(\displaystyle{ \left(x-\frac{b(a-c)}{d-b}\right)\left(x-\frac{d(a-c)}{d-b}\right)}\).

*Nie możemy tak uczynić, gdy \(\displaystyle{ x_0=0}\) - wtedy automatycznie \(\displaystyle{ b=0, \ d=0}\), zadanie się trywializuje i zostajemy z \(\displaystyle{ (x+a)(x+b)}\), no i w przypadku, gdy \(\displaystyle{ d=0}\) - wtedy zaś bądź to \(\displaystyle{ x_0=0}\) i mamy jak poprzednio, bądź \(\displaystyle{ q=0}\), a stąd \(\displaystyle{ p=a-c}\) i wtedy szukanym wielomianem jest \(\displaystyle{ x(x+a-c)}\).

**Tak nie możemy postąpić, gdy \(\displaystyle{ d=b}\), ale wtedy wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem różnicy trójmianów, która wynosi \(\displaystyle{ x(a-c)}\), stąd bądź to \(\displaystyle{ a=c}\) i trójmiany są równe, bądź \(\displaystyle{ x_0=0}\) i wracamy do przypadków już rozważonych.

Nie jest to ładne rozwiązanie (dopiero w trakcie pisania przyszło mi do głowy, że pewnie o takie chodzi i nie mam szans, ale już nie chciałem kasować), ale ja też nie jestem ładny i jakoś muszę z tym żyć.
ODPOWIEDZ