Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{2} +3x - \frac{m-2}{m-3} =0}\) ma dwa pierwiastki rzeczywiste? Wyznacz te wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) , dla których suma sześcianów pierwiastków tego równania jest równa\(\displaystyle{ -9}\).

Pierwszą część zrobiłem bez problemów.
Moje pytanie brzmi - czy mogę zastosować w drugiej części zadania ten skrócony wzór mnożenia ?
\(\displaystyle{ x _{1} ^{3} + x _{2} ^{3} = \left( x _{1} + x _{2} \right) \left[ \left( x _{1} \right) ^{2} - x_{1} \cdot x _{2} + \left( x _{2} \right) ^{2} \right]}\)

Nawet powinieneś z niego skorzystać, później jeszcze trzeba rozbić sumę kwadratów i skorzystać ze wzorów Viete'a

sigmaIpi pisze:Nawet powinieneś z niego skorzystać, później jeszcze trzeba rozbić sumę kwadratów i skorzystać ze wzorów Viete'a

Tylko niestety wynik mi się nie zgadza. Byłbym wdzięczny za znalezienie błędu.
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} = -3}\)
\(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2} = - \frac{m-2}{m-3}}\)
\(\displaystyle{ -3( 9\frac{m-3}{m-3} + 3 \frac{m-2}{m-3} = -9}\)
\(\displaystyle{ \frac{12m-33}{m-3} =3}\)
Prawidłowa odpowiedź to : \(\displaystyle{ \frac{8}{3}}\)

Bo trzeba jeszcze skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ x _{1} ^{2}+x _{2} ^{2}=\left( x _{1}+x _{2} \right) ^{2}-2 \cdot x _{1} x _{2}}\)

bakala12 pisze:Bo trzeba jeszcze skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ x _{1} ^{2}+x _{2} ^{2}=\left( x _{1}+x _{2} \right) ^{2}-2 \cdot x _{1} x _{2}}\)

Skorzystałem z niego. Dlatego przed \(\displaystyle{ \frac{m-2}{m-3}}\) jest \(\displaystyle{ 3}\).

\(\displaystyle{ x_1^3+x_2^3= \left( x_1+x_2 \right) \left( x_1^2-x_1x_2+x_2^2 \right) =}\)
\(\displaystyle{ = \left( -\frac{b}{a} \right) \left( \left( x_1+x_2 \right) ^2-x_1x_2 \right) =}\)
\(\displaystyle{ =-3 \left( \left( \frac{b}{a} \right) ^2-3x_1x_2 \right) =-3 \left( 9-3 \cdot \frac{c}{a} \right) =}\)
\(\displaystyle{ =-3 \cdot \left( 9-3 \cdot \frac{2-m}{m-3} \right)}\)
po rozwiązaniu równania dostaniesz \(\displaystyle{ m= \frac{8}{3}}\)

U Ciebie błędu nie ma, widocznie ostatnie równanie źle rozwiązujesz.