Dla jakich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ m}\) jeden z pierwiastków równania
\(\displaystyle{ 2x^2-(2m+1)x+m^2-9m+39=0}\) jest dwa razy większy niż drugi?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Wiemy, że \(\displaystyle{ x_2=2x_1}\). Wiemy też, że współrzędna \(\displaystyle{ x}\)-owa wierzchołka to średnia arytmetyczna miejsc zerowych, zatem:
\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2}{2}=- \frac{b}{2a} }\)
Podstawiając jedno równanie do drugiego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}x_1=-\frac{b}{2a}}\), a zatem
\(\displaystyle{ x_1=-\frac{b}{3a}}\), a zatem, żeby warunki zadania były spełnione, to jeden z pierwiastków musi przyjąć taką formę, a zatem:
\(\displaystyle{ x_1=\frac{2m+1}{6}}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ 2(\frac{2m+1}{6})^2-(2m+1)\frac{2m+1}{6}+m^2-9m+39=0}\)
\(\displaystyle{ 2(\frac{4m^2+4m+1}{36})-\frac{4m^2+4m+1}{6}+m^2-9m+39=0}\)
\(\displaystyle{ 4m^2+4m+1-12m^2-12m-3+18m^2-162m+702=0}\)
\(\displaystyle{ 10m^2-170m+700=0}\)
\(\displaystyle{ m^2-17m+70=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=289-280=9}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} =3}\)
\(\displaystyle{ m_1= \frac{17-3}{2}=7 }\)
\(\displaystyle{ m_2=10}\)
No więc mamy dwa rozwiązania, jeszcze trzeba sprawdzić, czy delta jest większa od zera, abyśmy mieli dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ \Delta=4m^2+4m+1-8(m^2-9m+39)>0}\)
\(\displaystyle{ 4m^2+4m+1-8m^2+72m-312>0}\)
\(\displaystyle{ -4m^2+76m-311>0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=800}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=20 \sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ m_1= \frac{-76-20 \sqrt{2} }{-8}= \frac{76+20 \sqrt{2} }{8}<14 }\)
\(\displaystyle{ m_2= \frac{76-20 \sqrt{2} }{8}>5 }\)
A zatem oba rozwiązania, które nam wyszły są rozwiązaniami tego zadania. Czyli \(\displaystyle{ m=7}\) lub \(\displaystyle{ m=10}\).
Czy tak jest dobrze?
Dodano po 22 godzinach 30 minutach 26 sekundach:
Podbijam pytanie.