Matematyka.pl

Dana jest funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=\left( p-3\right) x ^{2} +2x-1}\). Wyznacz te wartości parametru \(\displaystyle{ p}\), dla których najmniejsza wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest mniejsza od \(\displaystyle{ -2}\).

Funkcja kwadratowa osiąga wartość najmniejszą, gdy ma ramiona skierowane do góry.

\(\displaystyle{ a > 0}\)

Wartość najmniejsza jest w wierzchołku w rzędnej

\(\displaystyle{ \Delta=4p-8}\)

\(\displaystyle{ q= \frac{-\Delta}{4a}}\)

\(\displaystyle{ q= \frac{-p+2}{p-3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{p+2}{p-3} < -2}\)

Teraz jest poprawnie

Popraw \(\displaystyle{ q.}\)

Uwzględnij dodatkowe warunki: \(\displaystyle{ \Delta >0, \ \ p-3 >0}\)

Nie bardzo rozumiem, źle policzyłem \(\displaystyle{ q}\) ? Nie mogę znaleźć błędu.

Dodatkowe warunki \(\displaystyle{ \Delta>0,\ \ p -3 >0.}\)

Popraw nierówność prawej strony na \(\displaystyle{ -2.}\)

Pomyliłem znak, teraz jest wszystko git, dzięki!

Nie uwzględniłeś warunków: \(\displaystyle{ a>0, \ \ \Delta>0}\) choć napisałeś, że ramiona paraboli są skierowane do góry. Warto w zadaniach z parametrem wykonać poglądowy wykres funkcji i jej możliwe położenia.

janusz47 pisze:Dodatkowe warunki \(\displaystyle{ \Delta>0,}\)

A ten warunek po co?

JK

A ja spytam co to jest \(\displaystyle{ a}\)? przecież współczynnik przy najwyższej potędze to nie \(\displaystyle{ a}\) tylko \(\displaystyle{ p-3}\)

Czy gdyby zadanie brzmiało: wyznacz wartośc parametru \(\displaystyle{ a}\), dla którego najmniejsza wartość funkcji \(\displaystyle{ (a+2)x^2+(2-a)x-3}\) jest mniejsza niż \(\displaystyle{ -5}\), to też byście napisali \(\displaystyle{ a>0}\)?

Przyjmuje się oznaczać przez \(\displaystyle{ a}\) cały współczynnik z parametrem stojący przy \(\displaystyle{ x^2.}\)
Choć przyznaję, że podstawienie \(\displaystyle{ a:= p-3}\) jest bardziej dokładne.

Żeby wierzchołek paraboli leżał poniżej prostej o równaniu \(\displaystyle{ y= -2}\) parabola musi przecinać oś \(\displaystyle{ Ox}\) w dwóch punktach.

janusz47 pisze:Żeby wierzchołek paraboli leżał poniżej prostej o równaniu \(\displaystyle{ y= -2}\) parabola musi przecinać oś \(\displaystyle{ Ox}\) w dwóch punktach.

Ale osobne rozpatrywanie warunku \(\displaystyle{ \Delta>0}\) jest zbędne. Wystarczą warunki \(\displaystyle{ p-3>0}\) i \(\displaystyle{ \frac{-\Delta}{4(p-3)}<-2.}\)

JK

Choć wynika z drugiego warunku, ale bym tę nierówność uwzględnił.

janusz47 pisze:Choć wynika z drugiego warunku, ale bym tę nierówność uwzględnił.

Ale po co? Żeby mieć więcej zbędnego liczenia? Przecież zestaw warunków

\(\displaystyle{ p-3>0 \land \frac{-\Delta}{4(p-3)}<-2}\)

idealnie opisuje sytuację: ramiona w górę i wierzchołek poniżej prostej \(\displaystyle{ y=-2}\).

JK