Znajdź i napisz jakiego typu są punkty osobliwe w \(\displaystyle{ \overline{\CC}}\) funkcji
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{z-\pi}{\sin ^2 z} \cdot \cos \frac{1}{z-2i}+ \frac{1}{e^z+i}}\)
Jak to zrobić? Zwłaszcza nie wiem jak to będzie w punktach \(\displaystyle{ z=3/2 \pi i+2k\pi i}\).
Najpierw patrzę co się dzieje \(\displaystyle{ z=k\pi,k \neq 1}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{z \to k\pi,k \neq 1}f(z)=\infty}\) czyli biegun i to chyba drugiego stopnia tak( skąd wiem,że drugiego?) A jak \(\displaystyle{ k=1}\) to w \(\displaystyle{ z=\pi}\) jest biegun pierwszego stopnia z uwagi na licznik.
W \(\displaystyle{ z=2i}\) jest osobliwość istotna bo kosinus ma nieskończoną część główną tutaj, a inne składniki mnie chyba nie obchodzą tu? I w nieskończoności jest punkt osobliwy nieizolowany, bo ciąg \(\displaystyle{ k\pi}\) dąży do nieskończoności gdy \(\displaystyle{ k}\) dąży do nieskończoności, zatem istnieje ciąg zbiegający do nieskończoności, którego nieskończona ilość wyrazów jest osobliwościami, tak? A jak będzie w tych punktach \(\displaystyle{ z=3/2 \pi i+2k\pi i}\)?
Proszę o jakieś wyjaśnienia.