Zbadać z definicji istnienie pochodnej funkcji: \(\displaystyle{ \overline{z}^2 + iz.}\)
Bardzo proszę o podpowiedź, niestety tutaj to sprzężenie sprawia mi kłopoty.
Zbadać istnienie podchodnej
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: Zbadać istnienie podchodnej
Z definicji mamy:
\(\displaystyle{ f'\left( z\right)= \lim_{ h\to 0} \frac{\overline{z+h}^2 + i\left( z+h\right) -\overline{z}^2 - iz}{h} = \lim_{ h\to 0} \frac{\left( \overline{z}+\overline{h}\right) ^2 + i\left( z+h\right) -\overline{z}^2 - iz}{h} = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{ h\to 0} \frac{ \overline{z}^2+2\overline{z}\overline{h}+\overline{h}^2 + iz+ih -\overline{z}^2 - iz}{h}=\lim_{ h\to 0} \left( 2\overline{z} \cdot \frac{\overline{h}}{h} + \frac{\overline{h}^2}{h}+i \right) }\)
teraz rozważ przypadki \(\displaystyle{ \overline{z}=0}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{z} \neq 0}\). Warto będzie też sprawdzić co się dzieje gdy \(\displaystyle{ h= \frac{i}{n} }\) a co gdy \(\displaystyle{ h= \frac{1}{n} }\) gdzie \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)
\(\displaystyle{ f'\left( z\right)= \lim_{ h\to 0} \frac{\overline{z+h}^2 + i\left( z+h\right) -\overline{z}^2 - iz}{h} = \lim_{ h\to 0} \frac{\left( \overline{z}+\overline{h}\right) ^2 + i\left( z+h\right) -\overline{z}^2 - iz}{h} = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{ h\to 0} \frac{ \overline{z}^2+2\overline{z}\overline{h}+\overline{h}^2 + iz+ih -\overline{z}^2 - iz}{h}=\lim_{ h\to 0} \left( 2\overline{z} \cdot \frac{\overline{h}}{h} + \frac{\overline{h}^2}{h}+i \right) }\)
teraz rozważ przypadki \(\displaystyle{ \overline{z}=0}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{z} \neq 0}\). Warto będzie też sprawdzić co się dzieje gdy \(\displaystyle{ h= \frac{i}{n} }\) a co gdy \(\displaystyle{ h= \frac{1}{n} }\) gdzie \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)