Szereg Laurenta

malwinka1058 · Post autor: **malwinka1058** » 8 wrz 2022, o 22:29

Rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{9-z^{2}} }\) w szereg Laurenta dla \(\displaystyle{ 0<|z+3|<6}\).

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 wrz 2022, o 09:19

Po rozłożeniu na ułamki proste pierwszy wyraz wyjdzie sam.

malwinka1058 · Post autor: **malwinka1058** » 9 wrz 2022, o 15:32

A jak rozpisać ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{3-z} }\)?

3a174ad9764fefcb · Post autor: **3a174ad9764fefcb** » 9 wrz 2022, o 16:17

Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego \(\displaystyle{ \frac{1}{1-(z+3)/6}=\ldots}\) Potem tylko wynik podzielić przez \(6\).

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 9 wrz 2022, o 16:28

Najpierw rozkładamy \(\displaystyle{ \frac{1}{9 -z^2} = \frac{-1}{z^2 -9} = -\frac{1}{(z-3)(z+3)} }\)

na sumę ułamków prostych.

malwinka1058 · Post autor: **malwinka1058** » 11 wrz 2022, o 01:28

Czy ostateczna odpowiedź to \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{z+3} + \frac{1}{36} \cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left( \frac{z+3}{6} \right)^{n} }\)?

3a174ad9764fefcb · Post autor: **3a174ad9764fefcb** » 11 wrz 2022, o 10:10

Wygląda sensownie. Też mi tak wychodzi.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 11 wrz 2022, o 10:17

Będzie dopiero wtedy mogło wyglądać sensownie jak przedstawimy w postaci szeregu pierwszy składnik tej sumy.

3a174ad9764fefcb · Post autor: **3a174ad9764fefcb** » 11 wrz 2022, o 10:25

Przecież jest już w takiej postaci. Forma wyniku jest odpowiednia.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 11 wrz 2022, o 10:32

Trzeba przedstawić też w postaci szeregu składnik:

\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{z+3} }\)

3a174ad9764fefcb · Post autor: **3a174ad9764fefcb** » 11 wrz 2022, o 10:36

Jest już przedstawiony w postaci szeregu, którego jedynym niezerowym wyrazem jest: \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{z+3} }\). Jest to nic innego jak \((z+3)^{-1}\) pomnożone przez liczbę rzeczywistą \(\frac16\).

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 11 wrz 2022, o 10:54

\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{z+3} = \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{3\cdot \left(1+\frac{z}{3} \right)} =
\frac{1}{18}\cdot \frac{1}{\left (1 - (-\frac{z}{3} ) \right)} = \ \ ... }\)

3a174ad9764fefcb · Post autor: **3a174ad9764fefcb** » 11 wrz 2022, o 11:27

janusz47, proponuję wrócić do treści zadania i upewnić się, wokół jakiego punktu ma być rozwijany szereg Laurenta.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 11 wrz 2022, o 12:40

W tym pierścieniu.

Nie możemy zostawiać członu wynikającego z rozkładu funkcji na sumę ułamków prostych wolnego, bo wtedy nie jest to pełne rozwinięcie funkcji w szereg.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 11 wrz 2022, o 12:58

Laurent sobie a regulamin WAM sobie.

Matematyka.pl

Szereg Laurenta

Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta

Re: Szereg Laurenta