Matematyka.pl

Znalezc residuum funkcji \(\displaystyle{ f(z)= e^{\frac{z}{1-z}}}\) w punkcie \(\displaystyle{ z=1}\).

Nie jest trudno wyliczyc residuum w nieskonczonosci i skorzystac z twierdzenia o sumie residuow. Czy mozna jednak jakos obliczyc \(\displaystyle{ \operatorname {Res}(f,1)}\) wprost?
Z gory dziekuje za wszelkie wskazowki.

Dodano po 22 minutach 44 sekundach:
Och, bardzo przepraszam! Oczywiscie \(\displaystyle{ \frac{z}{1-z}=-1+\frac{1}{1-z}}\) i po zabawie.

\(\displaystyle{ f(z) = \frac{a_{-1}}{z-z_{0}} + a_{0} + a_{1}(z-z_{0}) + ... , \ \ S < |z-z_{0}|< R }\)

\(\displaystyle{ (z-z_{0}) = a_{-1} + a_{0}(z-z_{0}) + a_{0}(z-z_{0}) + \ \ ... }\)

\(\displaystyle{ \Res(f(z), -1) = \lim_{z \to z_{0}}[(z-z_{0}) f(z)] = a_{-1}.}\)

\(\displaystyle{ f(z) = \frac{z}{1-z} = -1 - \frac{1}{z-1}}\)

\(\displaystyle{ \Res(f(z), -1) = \lim_{z \to 1} (z-1)\left ( -1 - \frac{1}{z-1}\right) = \lim_{z\to 1} \left[-(z-1) -\frac{z-1}{z-1}\right] = 0 - 1 = -1.}\)

janusz47 pisze: ↑9 sty 2024, o 15:45\(\displaystyle{ f(z) = \frac{z}{1-z} = -1 - \frac{1}{z-1}}\)

Obliczyłeś residuum innej funkcji, niż podana w zadaniu.

\(\displaystyle{ \frac{z}{1-z} = - \frac{z}{z-1} = - \frac{z-1+1}{z-1} = -1 -\frac{1}{z-1}. }\)

Sprawdzenie:

\(\displaystyle{ -1-\frac{1}{z-1} = \frac{-z +1-1}{z-1} = \frac{-z}{z-1} = \frac{z}{1-z}. }\)

Chyba, że chodzi o funkcję

\(\displaystyle{ f(z) = e^{\frac{z}{1-z}} }\) ?

A o jaką inną chodzi...

\(\displaystyle{ e^{ \frac{z}{1-z} }=e^{-\left( 1+ \frac{1}{z-1} \right) }=e^{-1} \cdot e^{- \frac{1}{z-1} }}\)

Jeśli chodzi o funkcję \(\displaystyle{ f(z) = e^{-1} \cdot e^{\frac{1}{1-z}}= e^{-1}\cdot g(z), }\) to stosując do funkcji \(\displaystyle{ g(z) = e^{\frac{1}{z-1}}}\) twierdzenie Picarda:

"Jeśli \(\displaystyle{ f(z) }\) jest holomorficzna na \(\displaystyle{ \Omega \setminus{z_{0}} }\) i \(\displaystyle{ z_{0}}\) jest punktem istotnie osobliwym, to w każdym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ z_{0} }\) przyjmuje każdą wartość zespoloną, z co najwyżej jednym wyjątkiem nieskończenie wiele razy."

Funkcja \(\displaystyle{ g(z) = e^{\frac{1}{z-1}} }\) przyjmuje w otoczeniu \(\displaystyle{ z_{0}=1 }\) wszystkie wartości poza \(\displaystyle{ z_{0} = 1.}\)

Kładąc \(\displaystyle{ t = z-1, }\) funkcja \(\displaystyle{ g(t) }\) ma istotną osobliwość w \(\displaystyle{ t_{0} = 0}\) i

\(\displaystyle{ g(t) = e^{\frac{1}{t}} = e^{\frac{1}{ r \cdot [\cos(\phi)+i \sin(\phi)]}} = e^{\frac{1}{r} \cdot [\cos(\phi) + i\sin(\phi)]^{-1}} = e^{\frac{1}{r}[cos(\phi)-i\sin(\phi)]}= e^{\frac{\cos(\phi)}{r}} \cdot e^{-i\frac{\sin(\phi)}{r}}. }\)

Jeśli \(\displaystyle{ z = x+iy , }\) to \(\displaystyle{ \sin(\phi) = \frac{y}{r}, \ \ \frac{\sin(\phi)}{r} = \frac{y}{r^2}. }\)

\(\displaystyle{ \cos(\phi) = \frac{x}{r}, \ \ \frac{\cos(\phi)}{r} = \frac{x}{r^2}. }\)

Jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ \xi = \frac{y}{x^2+y^2}, }\) to \(\displaystyle{ x^2 + y^2 -\frac{y}{\xi} = 0. }\)

Uzupełniając do pełnego kwadratu

\(\displaystyle{ x^2 + \left(y-\frac{1}{2\xi}\right)^2 = \frac{1}{4\xi^2} }\)

Otrzymaliśmy rodzinę okręgów w zależności od wartości parametru \(\displaystyle{ \xi.}\)

Dodano po 1 godzinie 6 minutach 2 sekundach:
Jeśli \(\displaystyle{ t = x+iy }\)

Nie bardzo nadążam za tym czymś a w ogóle co to miało być?

Dla mnie to radosna twórczość...