Matematyka.pl

Dana jest funkcia

\(\displaystyle{ f(z)= \frac{e^{i\pi z}+1}{z^2(z-1)^2\sin\frac{\pi z}{2}}
}\)
Zadanie polega na scharakteryzowaniu punktow osobliwych, lacznie z punktem w nieskonczonosci, i obliczeniu residuow.

LIczy sie na palcach, ze w \(\displaystyle{ z=0}\) jest biegun rzedu 3, w \(\displaystyle{ z=1}\) biegun rzedu 2, a w \(\displaystyle{ z=2n, ~~n\in\mathbb{N}}\) - bieguny jednokrotne.

Schody zaczynaja sie w nieskonczonosci. Mamy zbadac zachowanie funkcji \(\displaystyle{ g(z)=f(\frac{1}{z}) }\) w zerze.
Funkcja \(\displaystyle{ \phi(z)=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{2z}}}\), ktora sie wtedy pojawia, ma w zerze nieizolowany punkt osobliwy, a wiec residuum jest niedefiniowalne. (I - prosze mnie poparawic, jesli sie myle - obecnosc \(\displaystyle{ e^{\frac{i\pi}{z}}+1}\) w liczniku sytuacji nie ratuje).
Twierdzenie o sumie residuow stosujemy wiec do wyzej wymienionych punktow "skonczonych".
Cos tu naknocilam? Bede wdzieczna za wskazowki.

Mlodsza pisze: ↑14 sty 2024, o 01:49w \(\displaystyle{ z=2n, ~~n\in\mathbb{N}}\) - bieguny jednokrotne.

Raczej \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\), zapewne literówka.

Mlodsza pisze: ↑14 sty 2024, o 01:49Funkcja \(\displaystyle{ \phi(z)=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{2z}}}\), ktora sie wtedy pojawia, ma w zerze nieizolowany punkt osobliwy, a wiec residuum jest niedefiniowalne.

Zgadza się, co widać już po tym, że \(\displaystyle{ f(z)}\) ma bieguny o dowolnie dużych modułach.

Mlodsza pisze: ↑14 sty 2024, o 01:49Twierdzenie o sumie residuow stosujemy wiec do wyzej wymienionych punktow "skonczonych".

Co to znaczy?

Dziekuje za odpowiedz. )

Dasio11 pisze: ↑14 sty 2024, o 11:14

Mlodsza pisze: ↑14 sty 2024, o 01:49w \(\displaystyle{ z=2n, ~~n\in\mathbb{N}}\) - bieguny jednokrotne.

Raczej \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\), zapewne literówka.

Powinno byc, sadze, \(\displaystyle{ z=2n, ~~n\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}}\) (nocne pisanie bylo)

Mlodsza pisze: ↑14 sty 2024, o 01:49Twierdzenie o sumie residuow stosujemy wiec do wyzej wymienionych punktow "skonczonych".

Dasio11 pisze: ↑14 sty 2024, o 11:14Co to znaczy?

Mialam na mysli, ze dla obliczenie np. residuum w zerze - wobec tego, ze residuum w nieskonczonosci nie istnieje - wezmiemy pod uwage tylko residua wczesniej obliczone. Ale to nie jest takie wazne, najciekawszy jest tu punkt osobliwy nieizolowany w nieskonczonosci.

Moze ja ponownie sformuluje to, co do czego mam watpliwosc: czy funkcja \(\displaystyle{ f }\) ma nieizolowany punkt osobliwy w nieskonczonosci? (Tzn czy czynnik w liczniku nie kasuje efektu "nieizolowania", spowodowanego funkcja sinus w mianowniku.)

Mlodsza pisze: ↑14 sty 2024, o 14:41Powinno byc, sadze, \(\displaystyle{ z=2n, ~~n\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}}\)

Tak.

Mlodsza pisze: ↑14 sty 2024, o 14:41Moze ja ponownie sformuluje to, co do czego mam watpliwosc: czy funkcja \(\displaystyle{ f }\) ma nieizolowany punkt osobliwy w nieskonczonosci? (Tzn czy czynnik w liczniku nie kasuje efektu "nieizolowania", spowodowanego funkcja sinus w mianowniku.)

Zgadza się, nie kasuje.